我們利用極限的重要公式 $\lim_{u\to\infty} \left( 1 + \frac{k}{u} \right)^u = e^k$：

結果： (a) 處應填入 $e^{10}$。

對函數 $f(x) = x \ln x$ 求一階導函數：

令一階導數為零以尋找臨界點：

我們分析 $f'(x)$ 在臨界點兩側的符號變化：

• 當 $0 < x < e^{-1}$ 時， $\ln x < -1 \implies f'(x) < 0$ （函數遞減）。
• 當 $x > e^{-1}$ 時， $\ln x > -1 \implies f'(x) > 0$ （函數遞增）。

因此，函數在 $x = e^{-1}$ 處取得絕對最小值：

結果： (b) 處應填入 $-\displaystyle \frac{1}{e}$。

已知 $x f(x) + f(x^2) = 2$ 恆成立。

1. 第一步：代入 $x = 1$ 以求得 $f(1)$ 的值： $$1 \cdot f(1) + f(1^2) = 2 \implies 2f(1) = 2 \implies f(1) = 1$$
2. 第二步：對恆等式兩側關於 $x$ 進行求導（利用乘積法則與連鎖律）： $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left[ x f(x) + f(x^2) \right] = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(2)$$ $$1 \cdot f(x) + x f'(x) + f'(x^2) \cdot (2x) = 0$$
3. 第三步：將 $x = 1$ 與 $f(1) = 1$ 代入求導後的式子： $$f(1) + 1 \cdot f'(1) + 2(1) \cdot f'(1^2) = 0$$ $$1 + f'(1) + 2f'(1) = 0 \implies 1 + 3f'(1) = 0 \implies f'(1) = -\frac{1}{3}$$

結果： (c) 處應填入 $-\displaystyle \frac{1}{3}$。

原極限為 $y = \left( \frac{x^2 + 1}{x + 2} \right)^{1/x}$。對其取自然對數以化去指數：

當 $x \to \infty$ 時，此為 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式。我們使用羅必達法則：

由於 $\lim_{x\to\infty} \ln y = 0$，故極限值為：

結果： (d) 處應填入 $1$。

我們對極限式進行整理與變形：

我們分別求各部分的極限：

• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$
• $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos x}{\cos x} = \frac{1 + \cos(0)}{\cos(0)} = \frac{1 + 1}{1} = 2$

因此：

結果： (e) 處應填入 $2$。

我們將分子分母同除以 $x$：

我們評估無窮遠處的各極限項：

• 根據夾擠定理，因為 $-1 \le \sin x \le 1 \implies -\frac{1}{x} \le \frac{\sin x}{x} \le \frac{1}{x}$，當 $x \to \infty$ 時，有 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0$。
• $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2}{\sqrt{x}} = 0$。

代回極限式：

結果： (f) 處應填入 $1$。