1. 給定函數 $f(x) = (16-x)^{-1/4}$，要求其麥克勞林級數（即在 $x=0$ 處的泰勒級數）與收斂半徑。
2. 我們可以利用二項式級數 (Binomial Series) 展開公式： $(1+u)^k = \sum_{n=0}^\infty \binom{k}{n} u^n = 1 + ku + \frac{k(k-1)}{2!}u^2 + \cdots$ 該展開式的收斂條件為 $|u| < 1$。
3. 第一步：將 $f(x)$ 整理為 $(1+u)^k$ 的標準形式： $f(x) = (16-x)^{-1/4} = \left( 16 \left( 1 - \frac{x}{16} \right) \right)^{-1/4} = 16^{-1/4} \left( 1 - \frac{x}{16} \right)^{-1/4} = \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{x}{16} \right)^{-1/4}$ 此處 $k = -1/4$， $u = -\frac{x}{16}$。
4. 第二步：帶入二項式展開公式並化簡一般項：
   • $\binom{-1/4}{n} = \frac{(-1/4)(-5/4)\cdots(-1/4-n+1)}{n!} = \frac{(-1)^n \cdot 1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots (4n-3)}{4^n \cdot n!}$。
   • 代入 $u^n = (-1)^n \left(\frac{x}{16}\right)^n$ 後，負號 $(-1)^{2n} = 1$ 被消去。
5. 第三步：確定收斂半徑：
   • 收斂條件為 $|u| < 1 \implies \left| -\frac{x}{16} \right| < 1 \implies |x| < 16$。
   • 因此收斂半徑為 $R = 16$。

我們先將函數 $f(x)$ 進行代數整理，提取常數項 $16$ 以便套用經典的二項式展開式：

我們引入經典的二項式展開公式。對於任意實數 $k$：

收斂範圍為 $|u| < 1$。

在本題中，我們設定：

• $k = -\frac{1}{4}$
• $u = -\frac{x}{16}$

我們詳細計算展開式中各項的係數：

• 第 0 項： $1$
• 第 1 項： $$k \cdot u = \left( -\frac{1}{4} \right) \left( -\frac{x}{16} \right) = \frac{1}{4 \cdot 16} x = \frac{1}{2^6} x$$
• 第 2 項： $$\frac{k(k-1)}{2!} u^2 = \frac{\left( -\frac{1}{4} \right)\left( -\frac{5}{4} \right)}{2!} \left( -\frac{x}{16} \right)^2 = \frac{1 \cdot 5}{2! \cdot 4^2 \cdot 16^2} x^2 = \frac{5}{2! \cdot 2^{12}} x^2$$
• 第 $n$ 項一般式（對於 $n \ge 1$）： $$\begin{align*} a_n x^n =&\, \frac{\left(-\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{5}{4}\right)\left(-\frac{9}{4}\right)\cdots\left(-\frac{4n-3}{4}\right)}{n!} \left(-\frac{x}{16}\right)^n \\[4mm] =&\, \frac{(-1)^n \cdot 1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots (4n-3)}{4^n \cdot n!} \cdot (-1)^n \frac{x^n}{16^n} \\[4mm] =&\, \frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots (4n-3)}{n! \cdot 4^n \cdot 16^n} x^n = \frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots (4n-3)}{n! \cdot 2^{6n}} x^n \end{align*}$$

因此， $f(x)$ 的麥克勞林級數表示為：

收斂半徑分析 (Radius of Convergence)

二項式展開式收斂的充要條件是其自變數部分絕對值小於 $1$：

這說明級數在區間 $(-16, 16)$ 上絕對收斂。 因此，其收斂半徑為：

結論： 麥克勞林級數為 $\displaystyle \frac{1}{2} + \sum_{n=1}^\infty \frac{1 \cdot 5 \cdot 9 \cdots (4n-3)}{2^{6n+1} \cdot n!} x^n$，收斂半徑為 $16$。