1. 本題要求連續函數 $f(x,y) = x^2+y^2-3x-xy$ 在閉圓盤區域 $x^2+y^2 \le 9$ 上的絕對最大值與絕對最小值。
2. 我們需要分別檢查兩個部分：
   • 內部區域 $x^2 + y^2 < 9$：找出所有內部臨界點，計算其函數值。
   • 邊界曲線 $x^2 + y^2 = 9$：利用拉格朗日乘子法求出邊界極值候選點的函數值。
3. 第一步：內部臨界點尋找：
   • $f_x = 2x - 3 - y = 0$
   • $f_y = 2y - x = 0 \implies x = 2y$。
   • 聯立解得 $(x,y) = (2, 1)$。
   • 檢查是否在圓盤內： $2^2 + 1^2 = 5 < 9$，符合。函數值為 $f(2,1) = -3$。
4. 第二步：邊界極值點尋找（拉格朗日乘子法）：
   • 約束條件為 $g(x,y) = x^2+y^2 = 9$。
   • 偏導關係：
     1. $2x - 3 - y = 2\lambda x$
     2. $2y - x = 2\lambda y$
   • 消去 $\lambda$ 可得 $x^2 - y^2 - 3y = 0$。
   • 聯立 $x^2+y^2 = 9$ 可解得邊界候選點： $(0, -3)$ 與 $\left( \pm\frac{3\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2} \right)$。
5. 第三步：比對所有候選點值，確定最大值與最小值。

我們分內部區域與邊界曲線兩部分進行討論：

第一部分：圓盤內部臨界點 ($x^2 + y^2 < 9$)

我們對 $f(x, y)$ 關於 $x$ 與 $y$ 求偏導函數，並令其為零：

將式 (2) 代入式 (1)：

則對應的 $x = 2(1) = 2$。 得到內部臨界點為 $(2, 1)$。

• 檢驗範圍： $2^2 + 1^2 = 5 < 9$，此點確實位於內部。
• 此處函數值為： $$f(2, 1) = 2^2 + 1^2 - 3(2) - (2)(1) = 4 + 1 - 6 - 2 = -3$$

第二部分：圓盤邊界極值 ($x^2 + y^2 = 9$)

設約束條件為 $g(x, y) = x^2 + y^2 = 9$。我們使用拉格朗日乘子法：

我們列出聯立方程式：

由式 (3) 與式 (4) 可得：

將此式代入約束條件式 (5)：

解此一元二次方程式：

我們求出對應的 $x$ 座標：

1. 若 $y = -3$： $$x^2 + (-3)^2 = 9 \implies x^2 = 0 \implies x = 0$$ 得到邊界點 $(0, -3)$。
2. 若 $y = \frac{3}{2}$： $$x^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 9 \implies x^2 = 9 - \frac{9}{4} = \frac{27}{4} \implies x = \pm\frac{3\sqrt{3}}{2}$$ 得到兩個邊界點 $\displaystyle \left( \pm\frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2} \right)$。

第三部分：函數值比較與結論

我們計算所有候選點的函數值：

1. 內部臨界點值： $$f(2, 1) = -3$$
2. 邊界點 $(0, -3)$： $$f(0, -3) = 0^2 + (-3)^2 - 3(0) - (0)(-3) = 9$$
3. 邊界點 $\displaystyle \left( \pm\frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2} \right)$： 由於被積函數中含有 $-xy$ 項，我們分別代入：
   • 點 $\displaystyle \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2} \right)$ （即 $x < 0$）： $$\begin{align*} f\left(-\frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2}\right) =&\, \left(x^2 + y^2\right) - 3x - xy \\[2mm] =&\, 9 + \frac{9\sqrt{3}}{2} + \frac{9\sqrt{3}}{4} = 9 + \frac{27\sqrt{3}}{4} \approx 9 + 11.69 = 20.69 \end{align*}$$
   • 點 $\displaystyle \left( \frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2} \right)$ （即 $x > 0$）： $$f\left(\frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2}\right) = 9 - \frac{9\sqrt{3}}{2} - \frac{9\sqrt{3}}{4} = 9 - \frac{27\sqrt{3}}{4} \approx -2.69$$

比較上述所有候選值：

• 最大值為： $\displaystyle 9 + \frac{27\sqrt{3}}{4}$，發生於邊界點 $\displaystyle \left( -\frac{3\sqrt{3}}{2},\, \frac{3}{2} \right)$。
• 最小值為： $-3$，發生於內部點 $(2, 1)$。

結論： 絕對最大值為 $\displaystyle 9 + \frac{27\sqrt{3}}{4}$，絕對最小值為 $-3$。