1. 被積函數 $e^{x^3}$ 對自變數 $x$ 的原函數是非初等函數，無法直接計算內層積分。
2. 這提示我們必須交換二重積分的順序，改為先對 $y$ 積分、再對 $x$ 積分。
3. 第一步：寫出當前積分區域的邊界不等式：
   • $0 \le y \le 1$。
   • $\sqrt{y} \le x \le 1$。
4. 第二步：繪製或分析區域特徵，改寫為先積 $y$ 形式：
   • 邊界曲線為 $x = \sqrt{y} \implies y = x^2$。
   • 自變數 $x$ 範圍為 $[0, 1]$。
   • 對於每個固定的 $x$， $y$ 的變化範圍從下邊界 $y = 0$ 至上邊界曲線 $y = x^2$。
   • 新的積分範圍表示為： $0 \le x \le 1$ 且 $0 \le y \le x^2$。
5. 第三步：寫出新累次積分並求值： $\int_0^1 \int_0^{x^2} e^{x^3} \,\mathrm{d}y\mathrm{d}x = \int_0^1 x^2 e^{x^3} \,\mathrm{d}x$ 使用換元積分法 $u = x^3$ 即可輕鬆解出。

原積分為先對 $x$ 後對 $y$ 的累次積分，我們寫出其積分區域 $D$：

邊界曲線 $x = \sqrt{y}$ 在 $y \ge 0$ 時可寫為 $y = x^2$。 我們交換積分順序，將區域改寫為先對 $y$ 後對 $x$ 積分的表示方式：

• 自變數 $x$ 的範圍由 $0$ 變化到 $1$。
• 對於任意固定的 $x$， $y$ 軸向上的積分範圍從下底線 $y = 0$ 開始，到曲線 $y = x^2$ 為止。

因此交換順序後的積分區域表示為：

將其寫為累次積分並計算：

我們進行變數代換，令 $u = x^3 \implies \mathrm{d}u = 3x^2\,\mathrm{d}x \implies x^2\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\,\mathrm{d}u$。

• 當 $x = 0 \implies u = 0$。
• 當 $x = 1 \implies u = 1$。

代入得：

結論： 積分值為 $\displaystyle \frac{e - 1}{3}$。