交錯級數審斂法 (Leibniz’s Theorem) 的成立需要兩個條件：

1. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
2. 數列 $\{a_n\}$ 必須是單調遞減的（即對於足夠大的 $n$，有 $a_{n+1} \le a_n$）。

本題中只給出了第一個條件，未給出單調遞減的條件。因此我們可以構造一個不滿足遞減性且發散的交錯級數作為反例。

構造反例： 我們定義數列 $\{a_k\}$ 如下：

• 非負性：顯然對於所有 $k \in \mathbb{N}$，有 $a_k > 0$。
• 極限：當 $n \to \infty$ 時， $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$。
• 級數開展： $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} a_n = a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + \cdots = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{4} + \frac{1}{32} - \frac{1}{6} + \cdots$$ 此級數由兩部分組成：
  1. 奇數項之和（幾何級數）： $$\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2^{2m-1}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + \cdots$$ 比值為 $1/4$，此部分收斂。
  2. 偶數項之和（調和級數的常數倍）： $$\sum_{m=1}^\infty \left( -\frac{1}{2m} \right) = -\frac{1}{2} \sum_{m=1}^\infty \frac{1}{m}$$ 此部分為調和級數，發散。

一個收斂部分與一個發散部分相加，其結果必發散。故該級數發散，原陳述不成立。

原級數為：

我們考慮級數 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)$，其各項為正。我們使用極限比較審斂法 (Limit Comparison Test)，將其與收斂的 $p$-級數 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ （其中 $p=2>1$）進行比較：

我們令 $u = \frac{1}{n^2}$，當 $n\to\infty$ 時 $u\to 0^+$：

由於極限值為常數 $1 > 0$，根據極限比較審斂法，級數 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln \left( 1 + \frac{1}{n^2} \right)$ 與 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 具有相同的斂散性。 因為 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$ 收斂，所以原級數 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \ln \left( \frac{n^2}{n^2 + 1} \right)$ 亦收斂。

要證明 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 處連續，我們必須證明：

對於 $(x,y) \neq (0,0)$：

我們利用不等式 $|\sin y| \le |y|$ 進行放大：

由於對所有實數 $x, y$ 均有 $3x^2 + y^2 \ge y^2 \ge 0$，因此：

由此可得：

由於當 $(x,y) \to (0,0)$ 時， $\lim_{(x,y)\to(0,0)} |x| = 0$。 根據夾擠定理 (Squeeze Theorem)：

因為極限值等於函數值 $f(0,0) = 0$，故 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 處連續。