題目
Problem
7. Use Green’s Theorem to evaluate ∫ C ( e x + y 2 ) d x + ( e y + x 2 ) d y \displaystyle \int_C \left(e^x + y^2\right)\mathrm{d}x + \left(e^y + x^2\right)\mathrm{d}y ∫ C ( e x + y 2 ) d x + ( e y + x 2 ) d y C C C y = x 2 , y = 4 y = x^2, \ y = 4 y = x 2 , y = 4 y y y
解答
求解過程
展開
根據格林定理 (Green’s Theorem) ，對於正向封閉曲線 C C C D D D
∮ C P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y ) d A \oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}A ∮ C P d x + Q d y = ∬ D ( ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P ) d A 本題中：
P ( x , y ) = e x + y 2 ⟹ ∂ P ∂ y = 2 y P(x, y) = e^x + y^2 \implies \frac{\partial P}{\partial y} = 2y P ( x , y ) = e x + y 2 ⟹ ∂ y ∂ P = 2 y Q ( x , y ) = e y + x 2 ⟹ ∂ Q ∂ x = 2 x Q(x, y) = e^y + x^2 \implies \frac{\partial Q}{\partial x} = 2x Q ( x , y ) = e y + x 2 ⟹ ∂ x ∂ Q = 2 x 偏導差為：
∂ Q ∂ x − ∂ P ∂ y = 2 x − 2 y \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 2x - 2y ∂ x ∂ Q − ∂ y ∂ P = 2 x − 2 y
第一部分：確定積分區域 D D D
區域 D D D x ≥ 0 , y ≥ 0 x \ge 0, y \ge 0 x ≥ 0 , y ≥ 0
下邊界：拋物線 y = x 2 y = x^2 y = x 2
上邊界：水平線 y = 4 y = 4 y = 4
左邊界： y y y x = 0 x = 0 x = 0
求拋物線 y = x 2 y = x^2 y = x 2 y = 4 y = 4 y = 4
x 2 = 4 ⟹ x = 2 ( 因為 x ≥ 0 ) x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (\text{因為 } x \ge 0) x 2 = 4 ⟹ x = 2 ( 因為 x ≥ 0 ) 因此，積分區域 D D D
D = { ( x , y ) | 0 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 4 } D = \left\{ (x, y) \;\middle|\; 0 \le x \le 2, \ x^2 \le y \le 4 \right\} D = { ( x , y ) 0 ≤ x ≤ 2 , x 2 ≤ y ≤ 4 } 第二部分：計算二重積分
我們將被積項與範圍代入二重積分：
I = ∬ D ( 2 x − 2 y ) d A = ∫ 0 2 ( ∫ x 2 4 ( 2 x − 2 y ) d y ) d x = ∫ 0 2 [ 2 x y − y 2 ] x 2 4 d x = ∫ 0 2 [ ( 8 x − 16 ) − ( 2 x 3 − x 4 ) ] d x = ∫ 0 2 ( x 4 − 2 x 3 + 8 x − 16 ) d x = [ x 5 5 − x 4 2 + 4 x 2 − 16 x ] 0 2 = ( 32 5 − 16 2 + 4 ( 4 ) − 16 ( 2 ) ) − 0 = 32 5 − 8 + 16 − 32 = 32 5 − 24 = 32 − 120 5 = − 88 5 \begin{align*}
I =&\, \iint_D (2x - 2y) \,\mathrm{d}A \\[2mm]
=&\, \int_0^2 \left( \int_{x^2}^4 (2x - 2y) \,\mathrm{d}y \right) \mathrm{d}x \\[2mm]
=&\, \int_0^2 \Big[ 2xy - y^2 \Big]_{x^2}^4 \mathrm{d}x \\[2mm]
=&\, \int_0^2 \left[ \left( 8x - 16 \right) - \left( 2x^3 - x^4 \right) \right] \mathrm{d}x \\[2mm]
=&\, \int_0^2 \left( x^4 - 2x^3 + 8x - 16 \right) \mathrm{d}x \\[2mm]
=&\, \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{2} + 4x^2 - 16x \right]_0^2 \\[2mm]
=&\, \left( \frac{32}{5} - \frac{16}{2} + 4(4) - 16(2) \right) - 0 \\[2mm]
=&\, \frac{32}{5} - 8 + 16 - 32 = \frac{32}{5} - 24 = \frac{32 - 120}{5} = -\frac{88}{5}
\end{align*} I = = = = = = = = ∬ D ( 2 x − 2 y ) d A ∫ 0 2 ( ∫ x 2 4 ( 2 x − 2 y ) d y ) d x ∫ 0 2 [ 2 x y − y 2 ] x 2 4 d x ∫ 0 2 [ ( 8 x − 16 ) − ( 2 x 3 − x 4 ) ] d x ∫ 0 2 ( x 4 − 2 x 3 + 8 x − 16 ) d x [ 5 x 5 − 2 x 4 + 4 x 2 − 16 x ] 0 2 ( 5 32 − 2 16 + 4 ( 4 ) − 16 ( 2 ) ) − 0 5 32 − 8 + 16 − 32 = 5 32 − 24 = 5 32 − 120 = − 5 88
Warning
試卷印刷 Typo 說明：
在政大官方原版考卷中，此題的英文描述寫為 bounded by y = x^2, y = 4y and the y-axis。其中 y = 4y 顯然為印刷錯誤（多印了最後一個字母 y），正確的直線應為 y = 4。我們在解答中已對此 typo 進行了修正，並給出了正確的解析值。
結論：
積分值為 − 88 5 -\displaystyle \frac{88}{5} − 5 88
