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112 政治大學微積分(應數大三) 第 6 題

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112學年度 · 112微積分應數大三 · 第 6 題

題目

Problem

6. Show that ∑n=0∞(−1)nx2n=11+x2\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac{1}{1 + x^2} provided that ∣x∣<1|x| < 1 and use this result to find the sum of the series (10%)

∑n=0∞(−1)n(2n+1)(3)2n+1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)\left(\sqrt{3}\right)^{2n+1}}

解答

證明與求解過程

展開

第一部分：證明幾何級數等式

我們考慮無窮級數 ∑n=0∞(−1)nx2n\displaystyle \sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}，其一般項可寫為：

∑n=0∞(−x2)n\sum_{n=0}^\infty \left(-x^2\right)^n

這是一個首項為 a=1a = 1、公比為 r=−x2r = -x^2 的無窮幾何級數（等比級數）。 根據無窮幾何級數求和公式，當且僅當公比的絕對值小於 1 時收斂：

∣r∣<1  ⟹  ∣−x2∣<1  ⟹  x2<1  ⟹  ∣x∣<1|r| < 1 \implies \left|-x^2\right| < 1 \implies x^2 < 1 \implies |x| < 1

在此收斂條件下，其和為：

∑n=0∞(−1)nx2n=a1−r=11−(−x2)=11+x2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n} = \frac{a}{1 - r} = \frac{1}{1 - \left(-x^2\right)} = \frac{1}{1 + x^2}

故等式得證。

第二部分：求解無窮級數的和

由第一部分已證實，當 ∣t∣<1|t| < 1 時：

∑n=0∞(−1)nt2n=11+t2\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n} = \frac{1}{1 + t^2}

由於冪級數在其收斂區間 (−1,1)(-1, 1) 內可以逐項積分，我們對等號兩側從 00 到 xx 進行定積分（其中 ∣x∣<1|x| < 1）：

∫0x(∑n=0∞(−1)nt2n)dt=∫0x11+t2 dt\int_0^x \left( \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n} \right) \mathrm{d}t = \int_0^x \frac{1}{1 + t^2} \,\mathrm{d}t ∑n=0∞(−1)n(∫0xt2n dt)=[arctan⁡(t)]0x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left( \int_0^x t^{2n} \,\mathrm{d}t \right) = \Big[ \arctan(t) \Big]_0^x ∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1=arctan⁡(x)\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n + 1} x^{2n+1} = \arctan(x)

現在，我們代入 x=13x = \frac{1}{\sqrt{3}}。

  • 檢驗範圍： ∣13∣=13≈0.577<1\left| \frac{1}{\sqrt{3}} \right| = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 < 1，符合收斂半徑條件。 代入後左側恰為題目要求的級數：
∑n=0∞(−1)n2n+1(13)2n+1=∑n=0∞(−1)n(2n+1)(3)2n+1\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n + 1} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)\left(\sqrt{3}\right)^{2n+1}}

對應的右側值為：

arctan⁡(13)=π6\arctan\left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \frac{\pi}{6}

結論： 級數的和為 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}。