1. 本題要求連續函數 $f(x, y) = x^2 y$ 在閉圓盤區域 $x^2 + y^2 \le 1$ 上的最大值與最小值。
2. 我們分區域內部與邊界曲線討論：
   • 內部區域 $x^2 + y^2 < 1$：求出 $f$ 的偏導函數並令其為零，尋找內部臨界點。
   • 邊界圓周 $x^2 + y^2 = 1$：代入 $x^2 = 1 - y^2$，將函數簡化為關於 $y$ 的單變數函數，求其最值。

第一部分：圓盤內部臨界點 ($x^2 + y^2 < 1$)

我們求偏偏導數並令其為零：

聯立得內部臨界點為 $(0, y)$（其中 $-1 < y < 1$）。

• 在這些點上，函數值均為： $$f(0, y) = 0$$

第二部分：圓盤邊界極值 ($x^2 + y^2 = 1$)

在邊界上，我們有關係式 $x^2 = 1 - y^2$。由於 $x^2 \ge 0$，故 $y$ 的取值範圍為 $[-1, 1]$。 我們將此關係式代入 $f(x, y)$，將其簡化為關於 $y$ 的單變數函數 $g(y)$：

我們對 $g(y)$ 進行一階求導並令其為零：

我們計算臨界點與端點的函數值：

1. 若 $y = \frac{\sqrt{3}}{3}$： $$g\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{3} - \left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{3\sqrt{3}}{27} = \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{2\sqrt{3}}{9}$$
2. 若 $y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$： $$g\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{3} - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^3 = -\frac{2\sqrt{3}}{9}$$
3. 區間端端點 $y = \pm 1$： $$g(\pm 1) = (\pm 1) - (\pm 1)^3 = 0$$

第三部分：比較與結論

我們比對所有候選點的值：

• 內部點與端點值： $0$。
• 邊界點最大值： $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}$。
• 邊界點最小值： $\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}$。

結論： 絕對最大值為 $\displaystyle \frac{2\sqrt{3}}{9}$，絕對最小值為 $\displaystyle -\frac{2\sqrt{3}}{9}$。