1. 前提檢驗： 因為給定 $f(x)$ 在全實數範圍內均可導（differentiable），這說明 $f(x)$ 在閉區間 $[1, 5]$ 上連續，且在開區間 $(1, 5)$ 內可導。
2. 套用拉格朗日均值定理 (Mean Value Theorem)： 根據均值定理，必定存在某個實數 $c \in (1, 5)$，使得： $$\frac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = f'(c)$$
3. 整理得到 $f(1)$ 的表達式： 將 $f(5) = 4$ 代入上式： $$\frac{4 - f(1)}{4} = f'(c) \implies 4 - f(1) = 4f'(c) \implies f(1) = 4 - 4f'(c) \quad \text{--- (1)}$$
4. 求 $f(1)$ 的最大值： 為了讓 $f(1) = 4 - 4f'(c)$ 取得最大值，我們必須使減去的項 $4f'(c)$ 取得最小值。這意味著我們需要 $f'(c)$ 取得其可能的最小值。 已知對於所有實數 $x$，有： $$f'(x) \ge -1 \implies f'(c) \ge -1$$ 乘上負數 $-4$（注意不等號方向改變）： $$-4f'(c) \le -4(-1) = 4$$ 兩邊同時加上 4： $$f(1) = 4 - 4f'(c) \le 4 + 4 = 8$$

此最大值 $8$ 是可以達到的，例如當 $f(x) = -x + 9$ 時，此函數滿足 $f'(x) = -1 \in [-1, 3]$ 且 $f(5) = 4$，此時 $f(1) = -1 + 9 = 8$。

結論： $f(1)$ 的最大可能值為 $8$。