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112 政治大學微積分(應數大三) 第 3 題

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112學年度 · 112微積分應數大三 · 第 3 題

題目

Problem

3. Find each of the following integrals: (1) ∫2cos⁡3(x) dx\displaystyle \int \frac{2}{\cos^3(x)} \,\mathrm{d}x. (10%) (2) ∫ex+ex dx\displaystyle \int e^{x+e^x} \,\mathrm{d}x. (10%)

解答

(1) 求解 (1)

過程

展開

原積分可以寫成正割函數的立方：

∫2cos⁡3x dx=2∫sec⁡3x dx\int \frac{2}{\cos^3 x} \,\mathrm{d}x = 2 \int \sec^3 x \,\mathrm{d}x

我們對 sec⁡3x\sec^3 x 使用分部積分法 (Integration by Parts)： 令 u=sec⁡x  ⟹  du=sec⁡xtan⁡x dxu = \sec x \implies \mathrm{d}u = \sec x \tan x \,\mathrm{d}x。 令 dv=sec⁡2x dx  ⟹  v=tan⁡x\mathrm{d}v = \sec^2 x \,\mathrm{d}x \implies v = \tan x。

則：

∫sec⁡3x dx= sec⁡xtan⁡x−∫tan⁡x(sec⁡xtan⁡x)dx= sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡xtan⁡2x dx= sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡x(sec⁡2x−1)dx= sec⁡xtan⁡x−∫sec⁡3x dx+∫sec⁡x dx\begin{align*} \int \sec^3 x \,\mathrm{d}x =&\, \sec x \tan x - \int \tan x \left( \sec x \tan x \right) \mathrm{d}x \\[2mm] =&\, \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x \,\mathrm{d}x \\[2mm] =&\, \sec x \tan x - \int \sec x \left( \sec^2 x - 1 \right) \mathrm{d}x \\[2mm] =&\, \sec x \tan x - \int \sec^3 x \,\mathrm{d}x + \int \sec x \,\mathrm{d}x \end{align*}

將右側的 ∫sec⁡3x dx\int \sec^3 x\,\mathrm{d}x 移項至左側：

2∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+∫sec⁡x dx2 \int \sec^3 x \,\mathrm{d}x = \sec x \tan x + \int \sec x \,\mathrm{d}x

已知正割函數的經典積分公式為 ∫sec⁡x dx=ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣\int \sec x\,\mathrm{d}x = \ln|\sec x + \tan x|。 因此：

2∫sec⁡3x dx=sec⁡xtan⁡x+ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C2 \int \sec^3 x \,\mathrm{d}x = \sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| + C

結論： 積分值為 sec⁡xtan⁡x+ln⁡∣sec⁡x+tan⁡x∣+C\sec x \tan x + \ln|\sec x + \tan x| + C。

(2) 求解 (2)

過程

展開

我們利用指數冪的運算法則改寫被積函數：

∫ex+ex dx=∫eex⋅ex dx\int e^{x+e^x} \,\mathrm{d}x = \int e^{e^x} \cdot e^x \,\mathrm{d}x

我們採用變數代換法（uu-substitution），令 u=ex  ⟹  du=ex dxu = e^x \implies \mathrm{d}u = e^x\,\mathrm{d}x：

∫eex⋅ex dx=∫eu du=eu+C=eex+C\int e^{e^x} \cdot e^x \,\mathrm{d}x = \int e^u \,\mathrm{d}u = e^u + C = e^{e^x} + C

結論： 積分值為 eex+Ce^{e^x} + C。