題目
Problem
2. Let xy+exz+yz2=0. Find ∂x∂z(0,1,2). (10%)
解答
求解過程
展開
我們設定三變數隱函數方程式為：
Φ(x,y,z)=xy+exz+yz2=0
根據多變數隱函數微分公式，偏導數 ∂x∂z 可以表示為：
∂x∂z=−ΦzΦx— (1)
我們分別對 Φ(x,y,z) 關於 x 與 z 求偏偏導函數：
- 關於 x 求偏導（將 y,z 視為常數）：
Φx=∂x∂(xy+exz+yz2)=y+zexz
* **關於 $z$ 求偏導**（將 $x, y$ 視為常數）：
\Phi_z = \frac{\partial}{\partial z} \left( xy + e^{xz} + yz^2 \right) = x e^{xz} + 2yz
將偏導結果代回式(1)：
\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{y + z e^{xz}}{x e^{xz} + 2yz}
現在代入給定點 $(x, y, z) = (0, 1, 2)$ 的數值：
\frac{\partial z}{\partial x}(0, 1, 2) = -\frac{1 + 2 e^{0 \cdot 2}}{0 \cdot e^{0 \cdot 2} + 2(1)(2)} = -\frac{1 + 2}{0 + 4} = -\frac{3}{4}
**結論：**
偏導數 $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}(0, 1, 2) = -\frac{3}{4}$。
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