我們將分子分母同除以 $n^2$：

由於當 $n \to \infty$ 時，分母部分 $1 + \frac{1}{n} + \frac{1}{n^2} \to 1$。 然而，分子項 $(-1)^n$ 在 $1$ 與 $-1$ 之間來回震盪：

• 當 $n$ 為偶數且 $n \to \infty$ 時，極限趨近於 $1$。
• 當 $n$ 為奇數且 $n \to \infty$ 時，極限趨近於 $-1$。

因為左極限與右極限不一致（奇數與偶數子數列極限不同），故該極限不存在。

結論： the limit does not exist。

這是 $x \to -\infty$ 的極限，為避免負號出錯，我們進行變數代換，令 $y = -x$。當 $x \to -\infty$ 時，有 $y \to \infty$。 我們將 $x = -y$ 代入原式中（注意 $x^6 = (-y)^6 = y^6$，且 $x^3 = (-y)^3 = -y^3$）：

由於當 $y > 0$ 時，有 $y^3 = \sqrt{y^6}$，我們將分子與分母同除以 $y^3$：

結論： 極限值為 $-2$。

我們利用絕對值與不等式關係進行夾擠：

對於任意 $(x, y) \neq (0, 0)$，顯然有 $\sqrt{x^2} = |x| \le \sqrt{x^2 + y^2}$，因此：

由此可得不等式關係：

由於當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時：

根據夾擠定理 (Squeeze Theorem)：

結論： 極限值為 $0$。