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112 政治大學微積分(應數大二二) 第 6 題

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112學年度 · 112微積分應數大二二 · 第 6 題

題目

Problem

6. Use Green’s Theorem to evaluate ∫C−y3 dx+x3 dy\displaystyle \int_C -y^3\,\mathrm{d}x + x^3\,\mathrm{d}y, where CC is the curve defined by r(t)=(2cos⁡t)i+(2sin⁡t)j, 0≤t≤2π\mathbf{r}(t) = (2\cos t)\mathbf{i} + (2\sin t)\mathbf{j}, \ 0 \le t \le 2\pi. (10%)

解答

解法一

思路

展開
  1. 題目要求利用格林定理 (Green’s Theorem) 計算封閉曲線 CC 的線積分。
  2. 曲線 CC 是以原點為中心、半徑為 22 的圓，且隨 tt 從 00 到 2π2\pi 沿逆時針方向（正向）環繞一周。
  3. 線積分的被積形式為 P dx+Q dyP\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y：
    • P(x,y)=−y3P(x, y) = -y^3
    • Q(x,y)=x3Q(x, y) = x^3
  4. 第一步：套用格林定理公式： ∮CP dx+Q dy=∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dA\oint_C P\,\mathrm{d}x + Q\,\mathrm{d}y = \iint_R \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathrm{d}A 其中 RR 為圓盤 x2+y2≤4x^2 + y^2 \le 4。
  5. 第二步：計算偏導數並化簡二重積分被積項：
    • ∂Q∂x−∂P∂y=3x2−(−3y2)=3(x2+y2)\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2 - (-3y^2) = 3(x^2 + y^2)。
  6. 第三步：將二重積分轉化為極座標進行計算： ∬R3(x2+y2) dA=∫02π∫023r2⋅r drdθ\iint_R 3(x^2+y^2)\,\mathrm{d}A = \int_0^{2\pi} \int_0^2 3r^2 \cdot r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta

答題過程

展開

給定曲線 CC 的向量參數式為：

r(t)=(2cos⁡t)i+(2sin⁡t)j,0≤t≤2π\mathbf{r}(t) = (2\cos t)\mathbf{i} + (2\sin t)\mathbf{j}, \quad 0 \le t \le 2\pi

這是一條正向（逆時針方向）單純閉曲線，其所包圍的區域 RR 為一個閉圓盤：

R={(x,y)  |  x2+y2≤4}R = \left\{ (x, y) \;\middle|\; x^2 + y^2 \le 4 \right\}

我們設定 P(x,y)=−y3P(x, y) = -y^3， Q(x,y)=x3Q(x, y) = x^3。 我們計算格林定理中要求的偏導差：

∂Q∂x=3x2\frac{\partial Q}{\partial x} = 3x^2 ∂P∂y=−3y2\frac{\partial P}{\partial y} = -3y^2 ∂Q∂x−∂P∂y=3x2−(−3y2)=3(x2+y2)\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 3x^2 - \left(-3y^2\right) = 3\left(x^2 + y^2\right)

根據格林定理，我們可以將線積分轉換為圓盤 RR 上的二重積分：

∮C−y3 dx+x3 dy=∬R3(x2+y2)dA\oint_C -y^3\,\mathrm{d}x + x^3\,\mathrm{d}y = \iint_R 3\left(x^2 + y^2\right) \mathrm{d}A

我們引進極座標系進行計算：

x=rcos⁡θ,y=rsin⁡θ,dA=r drdθx = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad \mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta

積分範圍為：

0≤r≤2,0≤θ≤2π0 \le r \le 2, \quad 0 \le \theta \le 2\pi

將極座標變數代入二重積分：

∬R3(x2+y2)dA= ∫02π∫023r2⋅r drdt= ∫02πdθ⋅3∫02r3 dr= [θ]02π⋅3[r44]02= (2π)⋅3(164)= 2π⋅12=24π\begin{align*} \iint_R 3\left(x^2 + y^2\right) \mathrm{d}A =&\, \int_0^{2\pi} \int_0^2 3r^2 \cdot r \,\mathrm{d}r \mathrm{d}t \\[2mm] =&\, \int_0^{2\pi} \mathrm{d}\theta \cdot 3 \int_0^2 r^3 \,\mathrm{d}r \\[2mm] =&\, \Big[ \theta \Big]_0^{2\pi} \cdot 3 \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 \\[2mm] =&\, (2\pi) \cdot 3 \left( \frac{16}{4} \right) \\[2mm] =&\, 2\pi \cdot 12 = 24\pi \end{align*}

結論： 積分值為 24π24\pi。