1. 給定二維向量場 $\mathbf{F}(x, y) = \langle P, Q \rangle$，其中：
   • $P(x, y) = xy^2 + 2y$
   • $Q(x, y) = x^2y + 2x + 2$
2. 我們首先檢驗其是否為保守場 (Conservative Vector Field)：
   • $\frac{\partial P}{\partial y} = 2xy + 2$
   • $\frac{\partial Q}{\partial x} = 2xy + 2$
   • 由於 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 恆成立，該向量場確實是保守場。
3. 第一步：求解勢函數 $f(x, y)$（使得 $\nabla f = \mathbf{F}$）：
   • $\frac{\partial f}{\partial x} = xy^2 + 2y \implies f(x, y) = \frac{1}{2}x^2y^2 + 2xy + g(y)$。
   • 對 $y$ 求導： $\frac{\partial f}{\partial y} = x^2y + 2x + g'(y) = x^2y + 2x + 2 \implies g'(y) = 2 \implies g(y) = 2y$。
   • 得到勢函數 $f(x, y) = \frac{1}{2}x^2y^2 + 2xy + 2y$。
4. 第二步：求得積分路徑的起點與終點：
   • 起點： $\mathbf{r}(0) = \left( e^0, 1+0 \right) = (1, 1)$。
   • 終點： $\mathbf{r}(1) = \left( e^1, 1+1 \right) = (e, 2)$。
5. 第三步：利用保守場基本定理計算線積分： $\int_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} = f(e, 2) - f(1, 1)$

我們首先檢驗向量場 $\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j}$ 是否為保守場。 設：

我們對其交叉求偏偏導數：

因為在整個 $\mathbb{R}^2$ 平面上均有 $\displaystyle \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，故此向量場為保守向量場。這意味著其線積分僅與起點和終點有關，與具體路徑無關。

接下來，我們求解勢函數（Potential Function） $f(x, y)$，使其滿足 $\nabla f = \mathbf{F}$：

我們將式 (1) 對 $x$ 進行偏積分：

其中 $g(y)$ 為僅與 $y$ 相關的常數函數。

我們將式 (3) 關於 $y$ 求偏偏導數，並與式 (2) 比對：

由上式可得：

我們取常數 $C_0 = 0$，得到勢函數為：

我們計算曲線 $C$ 的起點與終點：

• 起點 $A$ (對應 $t = 0$)： $$\mathbf{r}(0) = e^0 \mathbf{i} + (1+0)\mathbf{j} = \mathbf{i} + \mathbf{j} \implies (1, 1)$$
• 終點 $B$ (對應 $t = 1$)： $$\mathbf{r}(1) = e^1 \mathbf{i} + (1+1)\mathbf{j} = e\mathbf{i} + 2\mathbf{j} \implies (e, 2)$$

根據線積分基本定理（保守場性質）：

我們代入勢函數計算值：

• $\displaystyle f(e, 2) = \frac{1}{2}e^2(2)^2 + 2(e)(2) + 2(2) = 2e^2 + 4e + 4$
• $\displaystyle f(1, 1) = \frac{1}{2}(1)^2(1)^2 + 2(1)(1) + 2(1) = \frac{1}{2} + 2 + 2 = \frac{9}{2}$

計算相減：

結論： 線積分值為 $\displaystyle 2e^2 + 4e - \frac{1}{2}$。