1. 本題要求第一卦限（First octant, $x,y,z \ge 0$）中，由上半球面 $x^2+y^2+z^2=12$ 與下半圓錐面 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 圍成區域的體積。
2. 這類具有球面與圓錐面特徵的區域，非常適合使用球面座標系 (Spherical Coordinates)：
   • $x = \rho \sin\phi \cos\theta$
   • $y = \sin\phi \sin\theta$
   • $z = \rho \cos\phi$
   • 微元體積為 $\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\phi \,\mathrm{d}\rho\mathrm{d}\phi\mathrm{d}\theta$。
3. 第一步：寫出積分範圍的球面座標邊界：
   • 半徑 $\rho$：由原點到球面， $\rho$ 範圍為 $[0, \sqrt{12}] = [0, 2\sqrt{3}]$。
   • 方位角 $\theta$：在第一卦限， $x \ge 0, y \ge 0 \implies \theta \in [0, \pi/2]$。
   • 天頂角 $\phi$：下限由圓錐 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 決定。 將座標代入： $\rho \cos\phi = \rho \sin\phi \implies \tan\phi = 1 \implies \phi = \pi/4$。 由於區域在圓錐上方（bounded below by the cone），天頂角 $\phi$ 應從 $0$（正 $z$ 軸）變化到 $\pi/4$。
4. 第二步：列出三重積分並求值。

我們引入標準的球面座標系：

此時體積微元為 $\mathrm{d}V = \rho^2 \sin\phi \,\mathrm{d}\rho \mathrm{d}\phi \mathrm{d}\theta$。

我們將邊界面轉換為球面座標的限制條件：

1. 上邊界球面： $$x^2 + y^2 + z^2 = 12 \implies \rho^2 = 12 \implies \rho = 2\sqrt{3}$$
2. 下邊界圓錐面： $$z = \sqrt{x^2 + y^2} \implies \rho \cos\phi = \rho \sin\phi \implies \tan\phi = 1 \implies \phi = \frac{\pi}{4}$$
3. 第一卦限限制： $$x \ge 0, \ y \ge 0, \ z \ge 0 \implies 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}$$

因此，立體區域 $E$ 在球面座標系下的積分範圍為：

立體體積 $V$ 可表示為以下三重積分：

結論： 體積為 $\displaystyle 2\pi\left( 2\sqrt{3} - \sqrt{6} \right)$。