這是一個可分離變數微分方程式 (Separable Differential Equation)。

1. 第一步：分離變數： 我們將所有含 $y$ 的項移到左側，含 $x$ 的項移到右側（假設 $1 - y^2 > 0$）：

   $$\frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y = \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm{d}x$$

2. 第二步：兩側同時求積分：

   $$\int \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \,\mathrm{d}y = \int \frac{1}{1 + x^2} \,\mathrm{d}x$$

   根據經典積分公式：

   $$\arcsin(y) = \arctan(x) + C \quad \text{--- (1)}$$

3. 第三步：帶入初值條件求解常數 $C$： 已知當 $x = 0$ 時 $y = 0$。代入式 (1)：

   $$\arcsin(0) = \arctan(0) + C \implies 0 = 0 + C \implies C = 0$$

   因此，特解關係式為：

   $$\arcsin(y) = \arctan(x)$$

4. 第四步：解出顯式特解 $y(x)$ 並簡化： 對兩側取正弦函數：

   $$y = \sin(\arctan x) \quad \text{--- (2)}$$

   為了得到代數形式的解，我們令 $\theta = \arctan x \implies \tan\theta = x$。 我們可以構造一個直角三角形：

   • 對邊長度為 $x$。
   • 鄰邊長度為 $1$。
   • 斜邊長度為 $\sqrt{x^2 + 1}$。

   則此時的正弦值為：

   $$\sin\theta = \frac{\text{對邊}}{\text{斜邊}} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

   因此，式 (2) 可化簡為：

   $$y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$$

結論： 此初值問題的唯一解為 $\displaystyle y = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$。