題目

Problem

2. Find each of the following: (1) Find the value(s) for $p$ such that the series $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{\sqrt{3 + n^p}}$ converges. (10%) (2) Evaluate the limit: $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{3\pi}{4n} \sec^2\left( \frac{i\pi}{4n} \right)$ . (10%)

解答

(1) 求解 (1)

過程

展開

我們使用極限比較審斂法 (Limit Comparison Test)。我們考慮當 $n$ 非常大時，級數一般項的主導項。一般項為：

a_n = \frac{n}{\sqrt{3 + n^p}}

對應的主導項為：

b_n = \frac{n}{\sqrt{n^p}} = \frac{n}{n^{p/2}} = \frac{1}{n^{p/2 - 1}}

我們計算這兩個正項數列比值的極限：

\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{\sqrt{3 + n^p}}}{\frac{n}{\sqrt{n^p}}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{n^p}{3 + n^p}} = \lim_{n\to\infty} \sqrt{\frac{1}{\frac{3}{n^p} + 1}}

若 $p > 0$ ，則 $\lim_{n\to\infty} \frac{3}{n^p} = 0$ ，極限值為 $1 > 0$ 。此時 $\sum a_n$ 與 $\sum b_n$ 斂散性相同。
若 $p \le 0$ ，則一般項 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$ ，級數必定發散。

因此我們只需討論 $p > 0$ 時 $\sum b_n$ 的收斂性。根據 $p$ -級數審斂法，級數 $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$ 收斂的充要條件是 $s > 1$ ：

\frac{p}{2} - 1 > 1 \implies \frac{p}{2} > 2 \implies p > 4

結論： 當 $p > 4$ 時，原級數收斂。

(2) 求解 (2)

過程

展開

我們將極限式識別為一個函數在閉區間 $[0, 1]$ 上的定積分的定積分黎曼和極限：定義區間 $[0, 1]$ ，將其 $n$ 等分，則：

區間寬度為 $\Delta x = \frac{1}{n}$ 。
分點為 $x_i = \frac{i}{n}$ （對於 $i = 1, 2, \dots, n$ ）。

我們重寫原式：

\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \frac{3\pi}{4n} \sec^2\left( \frac{i\pi}{4n} \right) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^n \left[ \frac{3\pi}{4} \sec^2\left( \frac{\pi}{4} x_i \right) \right] \Delta x

根據黎曼和定義，此極限對應以下定積分：

I = \int_0^1 \frac{3\pi}{4} \sec^2\left( \frac{\pi}{4} x \right) \,\mathrm{d}x

我們進行變數代換，令 $u = \frac{\pi}{4} x \implies \mathrm{d}u = \frac{\pi}{4} \,\mathrm{d}x \implies \frac{3\pi}{4} \,\mathrm{d}x = 3\,\mathrm{d}u$ 。

當 $x = 0 \implies u = 0$ 。
當 $x = 1 \implies u = \frac{\pi}{4}$ 。

代入計算：

I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} 3 \sec^2 u \,\mathrm{d}u = \Big[ 3 \tan u \Big]_0^{\frac{\pi}{4}} = 3 \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) - 3 \tan(0) = 3(1) - 0 = 3

結論： 極限值為 $3$ 。

112 政治大學微積分(應數大二二) 第 2 題

題目

解答

(1) 求解 (1)

過程

(2) 求解 (2)

過程