當 $x \to 0$ 時，分子 $\int_2^2 \ln(t-1)\,\mathrm{d}t = 0$，分母 $0^2 = 0$，此為 $\frac{0}{0}$ 型極限。 我們使用微積分第一基本定理與羅必達法則：

當 $x \to 0$ 時，此式仍為 $\frac{0}{0}$ 型。我們可利用等價無窮小量 $\ln(1+u) \sim u$（其中 $u = 3x \to 0$）：

結論： 極限值為 $\displaystyle \frac{9}{2}$。

我們使用變數代換法（$u$-substitution），令 $u = \cos x \implies \mathrm{d}u = -\sin x\,\mathrm{d}x \implies \sin x\,\mathrm{d}x = -\mathrm{d}u$：

結論： 積分值為 $-\arctan(\cos x) + C$。

我們使用分部積分法 (Integration by Parts)： 令 $u = 4\arctan x \implies \mathrm{d}u = \frac{4}{1+x^2} \,\mathrm{d}x$。 令 $\mathrm{d}v = \mathrm{d}x \implies v = x$。

則不定積分為：

現在代入定積分上下限 $[0, 1]$：

結論： 積分值為 $\pi - 2\ln 2$。

原被積函數可以寫成餘割函數的立方：

我們對 $\csc^3 x$ 使用分部積分法： 令 $u = \csc x \implies \mathrm{d}u = -\csc x \cot x \,\mathrm{d}x$。 令 $\mathrm{d}v = \csc^2 x \,\mathrm{d}x \implies v = -\cot x$。

則：

將右側的 $\int \csc^3 x\,\mathrm{d}x$ 移項至左側：

已知 $\int \csc x\,\mathrm{d}x = -\ln|\csc x + \cot x| = \ln|\csc x - \cot x|$：

因此，乘上常數 4 得到：

結論： 積分值為 $-2\csc x \cot x + 2\ln|\csc x - \cot x| + C$。