題目

Problem

8. Using the definition of the derivative to show that

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} [a^x] = (\ln a) \cdot a^x

where $a > 0$ . (10%)

解答

展開

根據導數的極限定義，對於任意函數 $f(x) = a^x$ （其中 $a > 0$ ），其導函數為：

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{a^{x + h} - a^x}{h}

我們將分子中的公因式 $a^x$ 提取到極限符號外面（因為 $a^x$ 與極限自變數 $h$ 無關）：

f'(x) = a^x \cdot \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} \quad \text{--- (1)}

為了計算極限 $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h}$ ，我們進行變數代換。我們令：

t = a^h - 1

當 $h \to 0$ 時，顯然有 $t \to a^0 - 1 = 0$ 。我們將 $h$ 用 $t$ 來表達：

a^h = t + 1 \implies \ln(a^h) = \ln(t + 1) \implies h \ln a = \ln(t + 1)

由於 $a > 0$ ，當 $a \neq 1$ 時 $\ln a \neq 0$ ：

h = \frac{\ln(t + 1)}{\ln a}

將上述關係代回極限式：

\begin{align*} \lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} =&\, \lim_{t \to 0} \frac{t}{\frac{\ln(t + 1)}{\ln a}} \\[4mm] =&\, \ln a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{t}{\ln(t + 1)} \\[4mm] =&\, \ln a \cdot \lim_{t \to 0} \frac{1}{\frac{1}{t} \ln(t + 1)} \\[4mm] =&\, \ln a \cdot \frac{1}{\lim_{t \to 0} \ln(t + 1)^{1/t}} \end{align*}

因為自然對數函數是連續函數，我們可以將極限符號移入對數內部：

\lim_{t \to 0} \ln(t + 1)^{1/t} = \ln \left( \lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} \right)

根據自然對數底數 $e$ 的極限定義，已知 $\displaystyle \lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} = e$ 。因此：

\ln \left( \lim_{t \to 0} (1 + t)^{1/t} \right) = \ln e = 1

代回原極限計算式：

\lim_{h \to 0} \frac{a^h - 1}{h} = \ln a \cdot \frac{1}{1} = \ln a

將此結果代回式 (1)：

f'(x) = a^x \cdot \ln a

故得證。

Note

當 $a = 1$ 時， $a^x = 1^x = 1$ 為常數函數，其導數為 $0$ 。此時公式右側為 $(\ln 1) \cdot 1^x = 0 \cdot 1 = 0$ ，公式依然成立。
本證明完全僅依賴於導數的極限定義與自然常數 $e$ 的定義，不使用羅必達法則，避免了循環論證的邏輯漏洞。