1. 前提檢驗： 因為給定 $f'(x) = e^{x^2}$ 於全實數範圍內均存在且連續，這說明 $f(x)$ 於閉區間 $[0, 1]$ 上連續，且在開區間 $(0, 1)$ 内可導。
2. 套用拉格朗日均值定理 (Mean Value Theorem)： 根據均值定理，必定存在某個實數 $c \in (0, 1)$，使得： $$\frac{f(1) - f(0)}{1 - 0} = f'(c)$$
3. 整理表達式： 將 $f(0) = 2$ 與 $f'(c) = e^{c^2}$ 代入上式： $$f(1) - 2 = e^{c^2} \implies f(1) = 2 + e^{c^2} \quad \text{--- (1)}$$
4. 估計 $e^{c^2}$ 的取值範圍： 已知 $c \in (0, 1)$： $$0 < c < 1 \implies 0 < c^2 < 1$$ 由於指數函數 $y = e^x$ 是嚴格單調遞增的，我們對不等式各項取指數： $$e^0 < e^{c^2} < e^1 \implies 1 < e^{c^2} < e \quad \text{--- (2)}$$
5. 代回式 (1) 得到最終估計： 將不等式 (2) 的各部分同時加上 $2$： $$2 + 1 < 2 + e^{c^2} < 2 + e$$ $$3 < f(1) < 2 + e$$

故得證。