1. 閉三角形區域 $R$ 的三個頂點為 $(0, 0)$、 $(4, 4)$ 與 $(-4, 4)$。
2. 我們需要分別分析內部與邊界：
   • 內部區域：求出 $f$ 的偏導函數並設為零，尋找內部臨界點。
   • 三條邊界段：將邊界方程式代入 $f(x, y)$，將其簡化為單變數函數，求其極值候選點。
3. 第一步：內部臨界點：
   • $f_x = 4x = 0 \implies x = 0$。
   • $f_y = 2y - 4 = 0 \implies y = 2$。
   • 臨界點 $(0, 2)$ 位於三角形內部，此處函數值為 $f(0, 2) = -4$。
4. 第二步：邊界段極值：
   • 邊界一 $y=4, x \in [-4, 4]$： $f(x, 4) = 2x^2$。最小在 $x=0 \implies 0$；最大在 $x=\pm 4 \implies 32$。
   • 邊界二 $y=x, x \in [0, 4]$： $f(x, x) = 3x^2 - 4x$。臨界點在 $x=2/3 \implies -4/3$。頂點值分別為 $f(0,0)=0, f(4,4)=32$。
   • 邊界三 $y=-x, x \in [-4, 0]$：由於對稱性，結果與邊界二相同。
5. 第三步：比較所有候選值。

三角形區域 $R$ 的邊界由三條直線圍成，其頂點為：

• $A(0, 0)$
• $B(4, 4)$
• $C(-4, 4)$

我們分區域內部與邊界段分別討論：

第一部分：區域內部臨界點

我們求偏導數並令其為零：

得到唯一的內部臨界點 $(0, 2)$。

• 檢驗範圍：該點 $(0, 2)$ 確實落於由 $y=4, y=x, y=-x$ 圍成的三角形內部。
• 此處函數值為： $$f(0, 2) = 2(0)^2 + 2^2 - 4(2) = -4$$

第二部分：邊界線段分析

1. 邊界線段 $L_1$： $y = 4$ （其中 $-4 \le x \le 4$）

代入 $y = 4$ 於 $f(x, y)$：

在區間 $[-4, 4]$ 上：

• 當 $x = 0$ 時，取得最小值 $g_1(0) = 0$。對應點為 $(0, 4)$。
• 當 $x = \pm 4$ 時，取得最大值 $g_1(\pm 4) = 32$。對應端點 $B(4, 4)$ 與 $C(-4, 4)$。

2. 邊界線段 $L_2$： $y = x$ （其中 $0 \le x \le 4$）

代入 $y = x$ 於 $f(x, y)$：

我們對 $g_2(x)$ 求導並令其為零以求區間內極值點：

• 當 $x = \frac{2}{3}$ 時， $y = \frac{2}{3}$。此處函數值為： $$g_2\left(\frac{2}{3}\right) = 3\left(\frac{2}{3}\right)^2 - 4\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} = -\frac{4}{3}$$
• 端點值：
  • $g_2(0) = f(0, 0) = 0$。
  • $g_2(4) = f(4, 4) = 32$。

3. 邊界線段 $L_3$： $y = -x$ （其中 $-4 \le x \le 0$）

由於 $f(-x, y) = 2(-x)^2 + y^2 - 4y = f(x, y)$ 具有關於 $y$ 軸的對稱性，此邊界的分析與 $L_2$ 完全對稱：

• 臨界點發生於 $x = -\frac{2}{3}, y = \frac{2}{3}$，函數值為 $-\frac{4}{3}$。
• 端端點值為 $f(0,0) = 0$， $f(-4, 4) = 32$。

第三部分：比較與結論

我們比對所有極值候選點的值：

• $f(0, 2) = -4$
• $f\left(\pm\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right) = -\frac{4}{3}$
• $f(0, 4) = 0$
• $f(0, 0) = 0$
• $f(\pm 4, 4) = 32$

比較上述所有數值：

• 絕對最大值為： $32$，發生於端點 $(4, 4)$ 與 $(-4, 4)$。
• 絕對最小值為： $-4$，發生於內部點 $(0, 2)$。