1. 本題要求連續溫度函數 $T(x, y, z) = xz + yz$ 在球面 $g(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 上的最大值點（Hottest spot）。
2. 第一步：建立拉格朗日乘子方程式： $\nabla T = \lambda \nabla g$
   • $z = 2\lambda x \quad \text{--- (1)}$
   • $z = 2\lambda y \quad \text{--- (2)}$
   • $x + y = 2\lambda z \quad \text{--- (3)}$
   • $x^2 + y^2 + z^2 = 1 \quad \text{--- (4)}$
3. 第二步：求解聯立方程組：
   • 由 (1) 與 (2) 易知 $2\lambda(x - y) = 0$。
   • 若 $\lambda = 0 \implies z = 0 \implies x+y=0 \implies T = 0$（非最高溫）。
   • 故必有 $x = y$。
   • 將 $x=y$ 代入 (3) 得 $2x = 2\lambda z \implies x = \lambda z$。
   • 代入 (1) 得 $z = 2\lambda(\lambda z) = 2\lambda^2 z \implies z(1 - 2\lambda^2) = 0$。
   • 若 $z = 0 \implies x = y = 0 \implies$ 不滿足球面方程式。
   • 故 $1 - 2\lambda^2 = 0 \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$。
4. 第三步：解出對應的坐標並計算溫度：
   • 當 $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$ 時： $z = \sqrt{2}x \implies x^2 + x^2 + (\sqrt{2}x)^2 = 1 \implies 4x^2 = 1 \implies x = \pm 1/2$。
   • 此時有兩組解點： $\left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ （溫度為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$）與 $\left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$（溫度為 $\frac{\sqrt{2}}{2}$）。
   • 經檢驗，這兩點均為最高溫點。

設目標函數為 $T(x, y, z) = xz + yz$，約束條件為 $g(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 = 1$。 我們寫出拉格朗日方程組：

對應的偏導關係與約束方程為：

由式 (1) 與式 (2) 可得：

我們分情況討論：

• 情況一：若 $\lambda = 0$ 代回 (1) 與 (2) 可得 $z = 0$。由式 (3) 可得 $x + y = 0 \implies y = -x$。 此時溫度為 $T(x, -x, 0) = 0$。這顯然不是最高溫度。
• 情況二：若 $\lambda \neq 0$ 此時必有 $x = y$。 我們將 $x = y$ 代入式 (3)： $$2x = 2\lambda z \implies x = \lambda z \quad \text{--- (5)}$$ 我們將式 (5) 代回式 (1)： $$z = 2\lambda(\lambda z) = 2\lambda^2 z \implies z\left( 1 - 2\lambda^2 \right) = 0$$
  • 若 $z = 0$，由 (5) 可得 $x = 0$，則 $x=y=z=0$，這不符合約束方程式 (4)。故 $z \neq 0$。
  • 因此必有： $$1 - 2\lambda^2 = 0 \implies \lambda = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

我們將 $\lambda$ 的值代入求解坐標：

1. 若 $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}}$： 由式 (5) 可得 $z = \sqrt{2}x$。代入球面方程 (4)： $$x^2 + x^2 + (\sqrt{2}x)^2 = 1 \implies 4x^2 = 1 \implies x = \pm\frac{1}{2}$$
   • 當 $x = \frac{1}{2}$ 時， $y = \frac{1}{2}$， $z = \frac{\sqrt{2}}{2}$。此處溫度為： $$T\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
   • 當 $x = -\frac{1}{2}$ 時， $y = -\frac{1}{2}$， $z = -\frac{\sqrt{2}}{2}$。此處溫度為： $$T\left(-\frac{1}{2},\, -\frac{1}{2},\, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
2. 若 $\lambda = -\frac{1}{\sqrt{2}}$： 同理可得 $z = -\sqrt{2}x$，代入球面方程可得 $x = \pm\frac{1}{2}$。
   • 此處對應的解點為 $\left(\frac{1}{2},\, \frac{1}{2},\, -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ 與 $\left(-\frac{1}{2},\, -\frac{1}{2},\, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$。
   • 這些點的溫度值為 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$，對應絕對最低溫（最冷點）。

比對可得，最高溫度為 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。 最高溫點（Hottest spots）共有兩個：

結論： 最熱點為 $\displaystyle \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ 與 $\displaystyle \left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$，最高溫度為 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。

球面 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ 可以用標準球面座標表示（設半徑 $\rho = 1$）：

我們將其代入溫度函數 $T$：

要使得 $T$ 取得最大值，我們必須讓兩個正弦乘積項同時達到最大：

1. $\sin(2\phi) = 1 \implies 2\phi = \frac{\pi}{2} \implies \phi = \frac{\pi}{4}$ （此時 $\phi \in [0, \pi]$ 符合）。
2. $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = 1 \implies \theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{4}$。

此時對應的直角坐標為：

• $x = \sin(\pi/4) \cos(\pi/4) = \frac{1}{2}$
• $y = \sin(\pi/4) \sin(\pi/4) = \frac{1}{2}$
• $z = \cos(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

另外，兩個正弦乘積項也可以同時為 $-1$（相乘仍為 $1$）：

1. $\sin(2\phi) = -1 \implies 2\phi = \frac{3\pi}{2} \implies \phi = \frac{3\pi}{4}$。
2. $\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = -1 \implies \theta + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{2} \implies \theta = \frac{5\pi}{4}$。

此時對應的直角坐標為：

• $x = \sin(3\pi/4) \cos(5\pi/4) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2}$
• $y = \sin(3\pi/4) \sin(5\pi/4) = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2}$
• $z = \cos(3\pi/4) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

此處的最大溫度同樣為 $T_{\max} = \frac{\sqrt{2}}{2}$。