1. 已知三變數函數 $F(x,y,z)$ 於點 $(1, -1, \sqrt{2})$ 的梯度為 $\nabla F = \langle 1, 2, -2 \rangle$。
2. 給定某點的球面座標 $(\rho, \theta, \phi) = (2, -\pi/4, \pi/4)$，要求在該點對 $\phi$ 的偏導數 $\frac{\partial F}{\partial \phi}$。
3. 第一步：建立標準球面座標與直角座標的映射關係：
   • $x = \rho \sin\phi \cos\theta$
   • $y = \rho \sin\phi \sin\theta$
   • $z = \rho \cos\phi$
4. 第二步：將給定的球面座標值帶入，求得直角座標點：
   • $x = 2 \sin(\pi/4) \cos(-\pi/4) = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = 1$。
   • $y = 2 \sin(\pi/4) \sin(-\pi/4) = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -1$。
   • $z = 2 \cos(\pi/4) = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \sqrt{2}$。
   • 直角座標點為 $(1, -1, \sqrt{2})$。這與題目給出梯度的位置完全吻合！
5. 第三步：利用多變數連鎖律 (Chain Rule) 求偏導： $\frac{\partial F}{\partial \phi} = \frac{\partial F}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \phi} + \frac{\partial F}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \phi} + \frac{\partial F}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial \phi} = \nabla F \cdot \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi}$ 其中 $\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = \langle \rho \cos\phi \cos\theta, \rho \cos\phi \sin\theta, -\rho \sin\phi \rangle$。
6. 第四步：帶入數值計算點積。

我們採用標準的球面坐標系（其中 $\theta$ 為方位角， $\phi$ 為天頂角）：

我們將給定的球面坐標點 $(\rho, \theta, \phi) = \left(2, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ 代入直角坐標關係式：

對應的直角坐標點確實為 $(1, -1, \sqrt{2})$。

根據多變數函數連鎖律， $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \phi}$ 可以用梯度點積的形式表達：

我們對坐標關係式關於 $\phi$ 求偏導函數：

• $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi} = \rho \cos\phi \cos\theta$
• $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \phi} = \rho \cos\phi \sin\theta$
• $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \phi} = -\rho \sin\phi$

將點 $(\rho, \theta, \phi) = \left(2, -\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$ 代入偏導項：

• $\displaystyle \frac{\partial x}{\partial \phi} = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$
• $\displaystyle \frac{\partial y}{\partial \phi} = 2 \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = -1$
• $\displaystyle \frac{\partial z}{\partial \phi} = -2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$

得到向量 $\displaystyle \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \phi} = \langle 1, -1, -\sqrt{2} \rangle$。

已知該點的梯度為 $\nabla F(1, -1, \sqrt{2}) = \langle 1, 2, -2 \rangle$。我們計算點積：

結論： $\displaystyle \frac{\partial F}{\partial \phi} = 2\sqrt{2} - 1$。