1. 要求函數 $f(x) = x^3 \arctan x$ 的 64 階導數在 $x=0$ 處的值 $f^{(64)}(0)$。
2. 直接求導 64 次顯然不可行。這提示我們利用泰勒（麥克勞林）級數展開： $f(x) = \sum_{N=0}^\infty \frac{f^{(N)}(0)}{N!} x^N$ 這意味著 $x^{64}$ 項的係數必然等於 $\frac{f^{(64)}(0)}{64!}$。
3. 第一步：寫出 $\arctan x$ 的級數展開： $\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots \quad (|x| \le 1)$
4. 第二步：乘上 $x^3$ 得到 $f(x)$ 的級數展開： $f(x) = x^3 \arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+4} = x^4 - \frac{x^6}{3} + \frac{x^8}{5} - \cdots$
5. 第三步：比對 $x^{64}$ 的係數：
   • 令 $2n+4 = 64 \implies 2n = 60 \implies n = 30$。
   • 對應的項為 $n=30$ 的項，其係數為 $\frac{(-1)^{30}}{2(30)+1} = \frac{1}{61}$。
   • 因此有 $\frac{f^{(64)}(0)}{64!} = \frac{1}{61} \implies f^{(64)}(0) = \frac{64!}{61}$。

我們知道 $\arctan(x)$ 在 $x = 0$ 處的泰勒展開式（麥克勞林級數）為：

我們將其乘上 $x^3$ 得到 $f(x)$ 的泰勒展開式：

根據泰勒級數的定義，任意在 $x = 0$ 處解析的函數 $f(x)$ 均可表示為：

比對式 (1) 與式 (2) 中 $x^{64}$ 項的係數。 我們令級數 (1) 中的指數 $2n + 4 = 64$：

當 $n = 30$ 時，式 (1) 中 $x^{64}$ 項的係數為：

由泰勒級數定義，此係數必須等於 $\displaystyle \frac{f^{(64)}(0)}{64!}$：

解出 $f^{(64)}(0)$：

結論： 64 階導數值為 $\displaystyle \frac{64!}{61}$。