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112 政治大學微積分(應數大二一) 第 2 題

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112學年度 · 112微積分應數大二一 · 第 2 題

題目

Problem

2. Let (cos⁡x)sin⁡y=1(\cos x)^{\sin y} = 1. Find dydx\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}. (10%)

解答

解法一

思路

展開
  1. 給定隱函數方程 (cos⁡x)sin⁡y=1(\cos x)^{\sin y} = 1，要求對應的導數 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}。
  2. 我們對兩邊取自然對數以化去指數： ln⁡[(cos⁡x)sin⁡y]=ln⁡(1)  ⟹  sin⁡y⋅ln⁡∣cos⁡x∣=0\ln\left[ (\cos x)^{\sin y} \right] = \ln(1) \implies \sin y \cdot \ln|\cos x| = 0
  3. 第一步：使用隱函數微分法，對 xx 進行求導（利用乘積法則與連鎖律）： ddx(sin⁡y⋅ln⁡∣cos⁡x∣)=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left( \sin y \cdot \ln|\cos x| \right) = 0 (cos⁡y⋅dydx)⋅ln⁡∣cos⁡x∣+sin⁡y⋅(−sin⁡xcos⁡x)=0\left( \cos y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) \cdot \ln|\cos x| + \sin y \cdot \left( \frac{-\sin x}{\cos x} \right) = 0
  4. 第二步：整理出 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 的代數關係式： dydxcos⁡yln⁡∣cos⁡x∣=sin⁡ytan⁡x  ⟹  dydx=sin⁡ytan⁡xcos⁡yln⁡∣cos⁡x∣=tan⁡ytan⁡xln⁡∣cos⁡x∣\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cos y \ln|\cos x| = \sin y \tan x \implies \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\sin y \tan x}{\cos y \ln|\cos x|} = \frac{\tan y \tan x}{\ln|\cos x|}

答題過程

展開

給定隱函數方程式為：

(cos⁡x)sin⁡y=1(\cos x)^{\sin y} = 1

我們對等號兩側取自然對數：

sin⁡y⋅ln⁡∣cos⁡x∣=ln⁡(1)=0\sin y \cdot \ln|\cos x| = \ln(1) = 0

對此式兩邊關於 xx 求導，利用乘積法則與連鎖律：

ddx(sin⁡y)⋅ln⁡∣cos⁡x∣+sin⁡y⋅ddx(ln⁡∣cos⁡x∣)=0\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} (\sin y) \cdot \ln|\cos x| + \sin y \cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\ln|\cos x|) = 0 (cos⁡y⋅dydx)ln⁡∣cos⁡x∣+sin⁡y(−sin⁡xcos⁡x)=0\left( \cos y \cdot \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right) \ln|\cos x| + \sin y \left( \frac{-\sin x}{\cos x} \right) = 0 dydxcos⁡yln⁡∣cos⁡x∣−sin⁡ytan⁡x=0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cos y \ln|\cos x| - \sin y \tan x = 0

移項並求導出 dydx\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}：

dydxcos⁡yln⁡∣cos⁡x∣=sin⁡ytan⁡x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \cos y \ln|\cos x| = \sin y \tan x

當 cos⁡y≠0\cos y \neq 0 且 ln⁡∣cos⁡x∣≠0\ln|\cos x| \neq 0 時，兩側同除以 cos⁡yln⁡∣cos⁡x∣\cos y \ln|\cos x|：

dydx=sin⁡ytan⁡xcos⁡yln⁡∣cos⁡x∣=tan⁡ytan⁡xln⁡∣cos⁡x∣\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\sin y \tan x}{\cos y \ln|\cos x|} = \frac{\tan y \tan x}{\ln|\cos x|}
Note

幾何本質分析： 方程式 sin⁡y⋅ln⁡∣cos⁡x∣=0\sin y \cdot \ln|\cos x| = 0 的幾何圖像由以下兩組直線構成：

  1. sin⁡y=0  ⟹  y=nπ\sin y = 0 \implies y = n\pi (其中 n∈Zn \in \mathbb{Z}，為一系列水平直線)，在此分支上 dydx=0\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 0。
  2. ln⁡∣cos⁡x∣=0  ⟹  cos⁡x=±1  ⟹  x=mπ\ln|\cos x| = 0 \implies \cos x = \pm 1 \implies x = m\pi (其中 m∈Zm \in \mathbb{Z}，為一系列垂直直線)，在此分支上 dydx\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 無定義。

代數求導所得的公式 dydx=tan⁡ytan⁡xln⁡∣cos⁡x∣\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\tan y \tan x}{\ln|\cos x|}，在水平直線分支 y=nπy = n\pi 上，因為 tan⁡(nπ)=0\tan(n\pi) = 0，其值確實為 00，與幾何事實完全吻合。

結論： 導數為 dydx=tan⁡ytan⁡xln⁡∣cos⁡x∣\displaystyle \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\tan y \tan x}{\ln|\cos x|}。