題目

Problem

Evaluate each of the following limits: (1) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x}$ (10%) (2) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x} \right)$ (10%) (3) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - x^2/2}{x^4}$ (10%)

解答

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我們對極限式進行變形：

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \left[ \left( \frac{x}{\sin x} \right) \cdot \left( x \sin(1/x) \right) \right]

我們分別求各部分的極限：

$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$ 。
對於 $\displaystyle \lim_{x \to 0} x \sin(1/x)$ ，我們利用夾擠定理：因為對所有 $x \neq 0$ 均有 $-1 \le \sin(1/x) \le 1$ ，所以： $-|x| \le x \sin(1/x) \le |x|$ 由於 $\displaystyle \lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0$ ，根據夾擠定理，可得： $\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0$

因此：

\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin(1/x)}{\sin x} = 1 \cdot 0 = 0

結論： 極限值為 $0$ 。

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這是 $\infty - \infty$ 型極限，我們對其進行有理化處理：

\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x} \right) =&\, \lim_{x \to \infty} \frac{\left( \sqrt{x^2 + x + 1} - \sqrt{x^2 - x} \right)\left( \sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x} \right)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2 + x + 1) - (x^2 - x)}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x}} \\[4mm] =&\, \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1} + \sqrt{x^2 - x}} \end{align*}

我們將分子與分母同除以 $x$ （注意當 $x > 0$ 時， $x = \sqrt{x^2}$ ）：

\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} + \sqrt{1 - \frac{1}{x}}} = \frac{2 + 0}{\sqrt{1 + 0 + 0} + \sqrt{1 - 0}} = \frac{2}{1 + 1} = 1

結論： 極限值為 $1$ 。

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當 $x \to 0$ 時，此為 $\frac{0}{0}$ 型未定式。我們連續使用羅必達法則：

\begin{align*} \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x - x^2/2}{x^4} \stackrel{\text{L.H.}}{=}&\, \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{4x^3} \\[4mm] \stackrel{\text{L.H.}}{=}&\, \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{12x^2} \\[4mm] \stackrel{\text{L.H.}}{=}&\, \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{24x} \\[4mm] =&\, -\frac{1}{24} \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{24} \end{align*}

我們已知 $\cos x$ 在 $x=0$ 處的展開式為：

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

代入分子中：

1 - \cos x - \frac{x^2}{2} = 1 - \left( 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots \right) - \frac{x^2}{2} = -\frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} - \cdots

代回極限式：

\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} - \cdots}{x^4} = \lim_{x \to 0} \left( -\frac{1}{24} + \frac{x^2}{720} - \cdots \right) = -\frac{1}{24}

結論： 極限值為 $-\displaystyle \frac{1}{24}$ 。