題目

Problem

9. For $m \ge 0$ , $n \ge 0$ , define $G(m,n) = \displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^n\,\mathrm{d}x$ . Which of the following statements is false?

(A) $0 \le G(m,n) \le 1$ for $m \ge 0$ , $n \ge 0$ .

(B) $(m+1)G(m, n+1) = (n+1)G(m+1, n)$ for $m \ge 0$ , $n \ge 0$ .

(D) $G(m,n) = G(n,m)$ for $m \ge 0$ , $n \ge 0$ .

(E) $G(m,0) = 1/(m+1)$ for $m \ge 0$ .

解答

展開

$G(m,n) = \displaystyle\int_0^1 x^m(1-x)^n\,\mathrm{d}x$ 就是 Beta 函數 $B(m+1, n+1)$ ，與 Gamma 函數的關係是： $G(m,n) = B(m+1,n+1) = \frac{\Gamma(m+1)\Gamma(n+1)}{\Gamma(m+n+2)} = \frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}$ （後者適用於 $m, n$ 為非負整數時）
利用這個公式，選項 (C) 要求計算 $1/G(m,2)$ ——把 $n = 2$ 代入後就能判斷係數對不對。
選項 (D) 是 Beta 函數的對稱性，可以直接換元 $t = 1-x$ 來驗證。
重點在選項 (C)：計算 $G(m,2)$ 時分母的 $(m+n+1)! = (m+3)!$ ，要展開成 $(m+1)(m+2)(m+3)$ 並注意分子 $2!$ 的存在—— $G(m,2) = \dfrac{2}{(m+1)(m+2)(m+3)}$ ，故 $1/G(m,2) = \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{2}$ ，而非 $(m+1)(m+2)(m+3)$ 。

展開

建立 $G(m,n)$ 的閉合式。 利用 Beta 函數公式：

G(m,n) = B(m+1,n+1) = \frac{m!\,n!}{(m+n+1)!}

逐一驗算各選項：

(A) 對 $x \in [0,1]$ ， $x^m \in [0,1]$ 且 $(1-x)^n \in [0,1]$ ，故 $0 \le x^m(1-x)^n \le 1$ ，積分長度為 $1$ ，因此 $0 \le G(m,n) \le 1$ 。✓

(B) 利用閉合式計算：

(m+1)G(m,n+1) = (m+1)\cdot\frac{m!\,(n+1)!}{(m+n+2)!} = \frac{(m+1)!\,(n+1)!}{(m+n+2)!}

(n+1)G(m+1,n) = (n+1)\cdot\frac{(m+1)!\,n!}{(m+n+2)!} = \frac{(m+1)!\,(n+1)!}{(m+n+2)!}

兩式相等。✓

(C) 代入 $n = 2$ ：

G(m,2) = \frac{m!\cdot 2!}{(m+3)!} = \frac{2}{(m+1)(m+2)(m+3)}

故：

\frac{1}{G(m,2)} = \frac{(m+1)(m+2)(m+3)}{2}

但選項宣稱 $1/G(m,2) = (m+1)(m+2)(m+3)$ ，少了分母的 $2$ 。此敘述為假。✗

(D) 令 $t = 1-x$ ，則 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}x$ ，積分範圍由 $0\to 1$ 變為 $1\to 0$ ：

G(m,n) = \int_0^1 x^m(1-x)^n\,\mathrm{d}x = \int_0^1(1-t)^m t^n\,\mathrm{d}t = G(n,m)

✓

(E) $G(m,0) = \displaystyle\int_0^1 x^m\,\mathrm{d}x = \dfrac{x^{m+1}}{m+1}\bigg|_0^1 = \dfrac{1}{m+1}$ 。✓

結論： 選項 (C) 為錯誤敘述。 $1/G(m,2) = \dfrac{(m+1)(m+2)(m+3)}{2}$ ，而非 $(m+1)(m+2)(m+3)$ ——分子多了一個 $2$ 因為 $n = 2$ 時的 $n! = 2$ 。