1. 先做換元 $t = x/b$，把 $G(a,b)$ 化為 $b^a \int_0^\infty t^{a-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t$。這個積分正是Gamma 函數 $\Gamma(a)$ 的定義，因此 $G(a,b) = b^a\,\Gamma(a)$，$G(a,1) = \Gamma(a)$。
2. 有了這個關係，所有選項都可以轉換成 $\Gamma(a)$ 的已知性質來判斷：
   • $\Gamma(a)$ 在 $a > 0$ 時收斂（B 正確）。
   • $\lim_{a\to\infty}\Gamma(a) = \infty$（A 錯誤）。
   • $G(a,b) = b^a\Gamma(a) = b^a G(a,1)$（C 正確）。
   • $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$（D 正確）。
   • 當 $a \le 0$ 且 $a$ 為非正整數時，$\Gamma(a)$ 有奇點（E 的精確程度要確認）。

換元建立 $G$ 與 $\Gamma$ 的關係。 令 $t = x/b$，即 $x = bt$，$\mathrm{d}x = b\,\mathrm{d}t$：

故 $G(a,b) = b^a\,\Gamma(a)$，特別地 $G(a,1) = \Gamma(a)$。

逐一驗算各選項：

(A) $\displaystyle\lim_{a\to\infty}G(a,1) = \lim_{a\to\infty}\Gamma(a)$。

由遞推關係 $\Gamma(a+1) = a\Gamma(a)$，可知 $\Gamma(a) \to \infty$ 當 $a \to \infty$。故 $\lim_{a\to\infty}G(a,1) = \infty$，並非有限值。此敘述為假。✗

(B) $G(a,b) = b^a\Gamma(a)$，$\Gamma(a)$ 在 $a > 0$ 時收斂至有限值，故 $G(a,b) < \infty$。✓

(C) 由換元結果 $G(a,b) = b^a\Gamma(a) = b^a G(a,1)$，直接成立。✓

(D) $G(a+1,1) = \Gamma(a+1) = a\Gamma(a) = aG(a,1)$，這是 Gamma 函數的遞推性質。✓

(E) 觀察定積分定義的收斂性：

當 $a < 0$ 時，考慮被積函數 $x^{a-1}e^{-x}$ 在 $x \to 0^+$ 處的行為。由於 $\lim_{x\to 0^+} e^{-x} = 1$，在 $x \in (0, 1]$ 區間內存在常數 $C > 0$ 使得 $e^{-x} \ge C$。

此時：

因為 $a < 0 \implies a-1 < -1$，積分 $\int_0^1 x^{a-1}\,\mathrm{d}x$ 於下限 $0$ 處發散至 $\infty$。

因此，由瑕積分定義所給出的 $G(a,1) = \int_0^\infty x^{a-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x$ 在 $a < 0$ 時必然發散至 $\infty$，即 $G(a,1) = \infty$。此敘述為真。✓

結論： 選項 (A) 為唯一的錯誤敘述。正確答案為 (A)。

(註：部分解析會將 $G(a,1)$ 混淆為經解析延拓後的 Gamma 函數 $\Gamma(a)$ 值，因而誤認 $a < 0$ 時仍可收斂為實數值；但若嚴格依題目所給的瑕積分定義，該積分於 $a < 0$ 時確實發散至 $\infty$。)