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111 政治大學微積分 第 7 題

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111學年度 · 111微積分 · 第 7 題

題目

Problem

7. Let f(u)=∫0ue−x2 dxf(u) = \displaystyle\int_0^u e^{-x^2}\,\mathrm{d}x for u∈(−∞,∞)u \in (-\infty, \infty) and let I=lim⁡u→∞f(u)I = \displaystyle\lim_{u\to\infty} f(u). Which of the following statements is false?

(A) ff is strictly increasing on (−∞,∞)(-\infty, \infty).

(B) ∫−∞∞e−x2/2 dx=22 I\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x = 2\sqrt{2}\,I.

(C) ∬R2e−x2−y2 d(x,y)=4I2\displaystyle\iint_{\mathbb{R}^2} e^{-x^2-y^2}\,\mathrm{d}(x,y) = 4I^2.

(D) There exists some positive integer kk such that kπ∫0∞re−r2 dr=I2k\pi\displaystyle\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r = I^2.

(E) There exists some positive integer kk such that I=kπ/2I = k\sqrt{\pi}/2.

解答

解法一

思路

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  1. I=∫0∞e−x2 dxI = \displaystyle\int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x 是著名的高斯積分，其結果為 I=π2I = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}，因此 I2=π4I^2 = \dfrac{\pi}{4}。這個數值是解本題的核心。
  2. 選項 (A) 直接由 f′(u)=e−u2>0f'(u) = e^{-u^2} > 0 即可判斷。
  3. 選項 (B) 是一個換元練習——把 ∫e−x2/2 dx\int e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x 透過令 u=x/2u = x/\sqrt{2} 轉換成 II。
  4. 選項 (C) 是高斯積分最經典的二維推廣：∬e−x2−y2 dA=(∫e−x2 dx)2\iint e^{-x^2-y^2}\,\mathrm{d}A = \left(\int e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\right)^2。
  5. 選項 (D) 是本題的陷阱——要確認 kπ∫0∞re−r2 dr=I2k\pi\displaystyle\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r = I^2 中的 kk 能否是正整數。直接算出 ∫0∞re−r2 dr=12\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r = \dfrac{1}{2}，代入方程式求解 kk。
  6. 選項 (E) 只需確認 k=1k = 1 代入 kπ/2=π/2=Ik\sqrt{\pi}/2 = \sqrt{\pi}/2 = I 是否成立。

答題過程

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預備：高斯積分的值。

利用極座標法可以證明（這裡直接引用結果）：

I=∫0∞e−x2 dx=π2I = \int_0^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2}

故 I2=π4I^2 = \dfrac{\pi}{4}。

逐一驗算各選項：

(A) f′(u)=e−u2>0f'(u) = e^{-u^2} > 0 對所有 u∈Ru \in \mathbb{R} 成立，故 ff 嚴格遞增。✓

(B) 令 t=x/2t = x/\sqrt{2}，則 dx=2 dt\mathrm{d}x = \sqrt{2}\,\mathrm{d}t：

∫−∞∞e−x2/2 dx=2∫−∞∞e−t2 dt=2⋅2I=22 I\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\,\mathrm{d}x = \sqrt{2}\int_{-\infty}^\infty e^{-t^2}\,\mathrm{d}t = \sqrt{2}\cdot 2I = 2\sqrt{2}\,I

✓

(C) 積分域是整個 R2\mathbb{R}^2，且被積函數可以分離變數：

∬R2e−x2−y2 dA=∫−∞∞e−x2 dx⋅∫−∞∞e−y2 dy=(2I)2=4I2\iint_{\mathbb{R}^2}e^{-x^2-y^2}\,\mathrm{d}A = \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,\mathrm{d}x\cdot\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\,\mathrm{d}y = (2I)^2 = 4I^2

✓

(D) 先計算 ∫0∞re−r2 dr\displaystyle\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r。令 s=r2s = r^2，ds=2r dr\mathrm{d}s = 2r\,\mathrm{d}r：

∫0∞re−r2 dr=12∫0∞e−s ds=12\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r = \frac{1}{2}\int_0^\infty e^{-s}\,\mathrm{d}s = \frac{1}{2}

代入方程式，所求條件為：

kπ⋅12=I2=π4  ⟹  k=12k\pi\cdot\frac{1}{2} = I^2 = \frac{\pi}{4} \implies k = \frac{1}{2}

k=12k = \dfrac{1}{2} 不是正整數，故不存在滿足條件的正整數 kk。此敘述為假。✗

(E) 取 k=1k = 1：kπ/2=π/2=Ik\sqrt{\pi}/2 = \sqrt{\pi}/2 = I。正整數 k=1k = 1 滿足條件。✓

結論： 選項 (D) 為錯誤敘述。kπ∫0∞re−r2 dr=I2k\pi\int_0^\infty re^{-r^2}\,\mathrm{d}r = I^2 需要 k=12k = \dfrac{1}{2}，不是正整數。