題目

Problem

6. Let $D_1 = \{(x,y) : |x+y| \le 1\}$ and $D_2 = \{(x,y) : |y-x| \le 1\}$ . Which of the following statements is false?

(A) $\displaystyle\iint_{D_1\cap D_2}(x+y)\,\mathrm{d}(x,y) = 0$

(B) $\displaystyle\iint_{D_1\cap D_2}(x-y)\,\mathrm{d}(x,y) = 0$

(D) $\displaystyle\iint_{D_1\cap D_2} x^2\,\mathrm{d}(x,y) = 1/3$

(E) $\displaystyle\iint_{D_1\cap D_2} y^2\,\mathrm{d}(x,y) = 2/3$

解答

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積分域 $D_1 \cap D_2$ 的條件是 $|x+y| \le 1$ 且 $|y-x| \le 1$ ，幾何上這是兩條帶狀區域的交集——一個以直線 $x+y = \pm 1$ 為邊界、一個以 $y-x = \pm 1$ 為邊界，交集是個旋轉了 45° 的正方形（菱形）。
這種積分域的形狀強烈提示做斜向換元：令 $u = x+y$ ， $v = y-x$ ，則 $D_1 \cap D_2$ 在 $(u,v)$ 坐標下變成標準的正方形 $[-1,1]\times[-1,1]$ ，積分計算會大幅簡化。
換元後被積函數用 $u, v$ 表達，其中 $x = \dfrac{u-v}{2}$ ， $y = \dfrac{u+v}{2}$ ，Jacobian 行列式為 $\big|\!\det J\big| = \dfrac{1}{2}$ 。
注意選項 (D) 和 (E)： $x^2$ 和 $y^2$ 在這個換元下具有完全對稱的形式，因此 $\iint x^2\,\mathrm{d}A = \iint y^2\,\mathrm{d}A$ ，兩個積分值應該相等，所以 (D) 和 (E) 不可能同時為真。

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換元。 令 $u = x+y$ ， $v = y-x$ ，則

x = \frac{u-v}{2}, \qquad y = \frac{u+v}{2}

Jacobian 行列式：

\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| = \begin{vmatrix}\tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\ \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2}\end{vmatrix} = \frac{1}{2}

換元後， $D_1 \cap D_2$ 對應 $(u,v) \in [-1,1]\times[-1,1]$ 。

逐一計算各選項：

(A) 被積函數為 $x+y = u$ ，這是關於 $u$ 的奇函數，對稱積分域上積分為零：

\iint_{[-1,1]^2} u\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v = \frac{1}{2}\int_{-1}^1 u\,\mathrm{d}u\cdot\int_{-1}^1\mathrm{d}v = 0 \quad ✓

(B) 被積函數為 $x-y = -v$ ，這是關於 $v$ 的奇函數，同理積分為零。✓

(C) $x^2 - y^2 = \dfrac{(u-v)^2}{4} - \dfrac{(u+v)^2}{4} = -uv$ ，這是 $u$ 的奇函數（也是 $v$ 的奇函數），積分為零。✓

(D) $x^2 = \left(\dfrac{u-v}{2}\right)^2 = \dfrac{u^2 - 2uv + v^2}{4}$ ：

\begin{align*} \iint_{D_1\cap D_2}x^2\,\mathrm{d}A =&\, \int_{-1}^1\int_{-1}^1\frac{u^2-2uv+v^2}{4}\cdot\frac{1}{2}\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \\[4mm] =&\, \frac{1}{8}\int_{-1}^1\int_{-1}^1(u^2+v^2)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v \quad(\text{奇函數項 }2uv\text{ 積分為零}) \\[4mm] =&\, \frac{1}{8}\left[\int_{-1}^1\!\int_{-1}^1 u^2\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v + \int_{-1}^1\!\int_{-1}^1 v^2\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\right] \\[4mm] =&\, \frac{1}{8}\left[2\cdot\frac{2}{3} + 2\cdot\frac{2}{3}\right] \\[4mm] =&\, \frac{1}{8}\cdot\frac{8}{3} = \frac{1}{3} \end{align*}

與選項一致。✓

(E) $y^2 = \left(\dfrac{u+v}{2}\right)^2 = \dfrac{u^2+2uv+v^2}{4}$ ，展開後奇函數項 $2uv$ 積分為零，剩餘結構與 $x^2$ 完全相同，故：

\iint_{D_1\cap D_2}y^2\,\mathrm{d}A = \frac{1}{3}

選項宣稱是 $\dfrac{2}{3}$ ，不相符。✗

結論： 選項 (E) 為錯誤敘述。 $x^2$ 和 $y^2$ 在此對稱積分域上的積分值相等，均為 $\dfrac{1}{3}$ ，而非 $\dfrac{2}{3}$ 。