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111 政治大學微積分 第 5 題

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111學年度 · 111微積分 · 第 5 題

題目

Problem

5. Let f(x,y)=x2+y2f(x, y) = x^2 + y^2 for x,y∈(−∞,∞)x, y \in (-\infty, \infty), D1={(x,y):x∈[0,1] and y∈[0,1]}D_1 = \{(x, y) : x \in [0, 1] \text{ and } y \in [0, 1]\} and D2={(x,y):x2+y2≤1}D_2 = \{(x, y) : x^2 + y^2 \le 1\}. Which of the following statements is false?

(A) ∬D1f(x,y) d(x,y)=2/3\displaystyle\iint_{D_1} f(x, y)\,\mathrm{d}(x, y) = 2/3.

(B) ∬D2f(x,y) d(x,y)>1\displaystyle\iint_{D_2} f(x, y)\,\mathrm{d}(x, y) > 1.

(C) ∬D1∩D2f(x,y) d(x,y)<1/2\displaystyle\iint_{D_1 \cap D_2} f(x, y)\,\mathrm{d}(x, y) < 1/2.

(D) ∬D1∪D2f(x,y) d(x,y)>2.5\displaystyle\iint_{D_1 \cup D_2} f(x, y)\,\mathrm{d}(x, y) > 2.5.

(E) ∬D1∪D21 d(x,y)=1+3π/4\displaystyle\iint_{D_1 \cup D_2} 1\,\mathrm{d}(x, y) = 1 + 3\pi/4.

解答

解法一

思路

展開
  1. 理解積分區域與被積函數：
    • 被積函數 f(x,y)=x2+y2f(x,y) = x^2 + y^2 具有明顯的旋轉對稱性，適合在圓盤或扇形區域上使用極座標計算。
    • 區域 D1D_1 是第一象限的單位正方形 [0,1]×[0,1][0,1] \times [0,1]。
    • 區域 D2D_2 是以原點為中心的單位圓盤 x2+y2≤1x^2 + y^2 \le 1。
  2. 逐項分析策略：
    • (A) 區域 D1D_1 是矩形，直接使用直角坐標下的累次積分計算。
    • (B) 區域 D2D_2 是整個單位圓盤，直接引入極座標計算最快。
    • (C) 區域 D1∩D2D_1 \cap D_2 是正方形與圓盤的交集，由於二者皆在第一象限相交，交集正好是第一象限的 1/41/4 圓盤，適合用極座標。
    • (D) 區域 D1∪D2D_1 \cup D_2 是聯集。計算聯集上的積分 ∬D1∪D2\iint_{D_1 \cup D_2}，最聰明的拆法是將其分解為：整個圓盤 D2D_2 在第二、三、四象限的部分（角度為 [π/2,2π][\pi/2, 2\pi] 的 3/43/4 圓盤），加上整個正方形 D1D_1。因為這兩部分的交集面積為零，積分可以直接相加，避免了重複區域的複雜扣除。
    • (E) 積分 ∬D1∪D21 dA\iint_{D_1 \cup D_2} 1\,\mathrm{d}A 即求聯集區域的面積，同樣使用 (D) 的區域分割法直接相加。

答題過程

展開

逐一驗算各選項的數值：

(A) ∬D1(x2+y2) dx dy\displaystyle\iint_{D_1} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y。在直角坐標下計算：

∬D1(x2+y2) dx dy= ∫01∫01(x2+y2) dx dy= ∫01[13x3+xy2]x=0x=1 dy= ∫01(13+y2)dy= [13y+13y3]01=23\begin{align*} \iint_{D_1} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y =&\, \int_0^1\int_0^1 (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 \left[ \frac{1}{3}x^3 + xy^2 \right]_{x=0}^{x=1}\,\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \int_0^1 \left( \frac{1}{3} + y^2 \right)\mathrm{d}y \\[4mm] =&\, \left[ \frac{1}{3}y + \frac{1}{3}y^3 \right]_0^1 = \frac{2}{3} \end{align*}

此敘述為真。✓

(B) ∬D2(x2+y2) dx dy\displaystyle\iint_{D_2} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y。引入極座標：令 x=rcos⁡θx = r\cos\theta，y=rsin⁡θy = r\sin\theta，面積元素 dA=r dr dθ\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta，積分域為 r∈[0,1]r \in [0,1]，θ∈[0,2π]\theta \in [0, 2\pi]：

∬D2r2⋅r dr dθ=∫02πdθ∫01r3 dr=2π⋅14=π2≈1.57>1\iint_{D_2} r^2\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r = 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{2} \approx 1.57 > 1

此敘述為真。✓

(C) D1∩D2D_1 \cap D_2 為第一象限內的正方形與單位圓交集，即第一象限的四分之一單位圓盤（r∈[0,1]r \in [0,1]，θ∈[0,π/2]\theta \in [0, \pi/2]）：

∬D1∩D2(x2+y2) dA=∫0π/2dθ∫01r3 dr=π2⋅14=π8≈0.393<12\iint_{D_1\cap D_2} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}A = \int_0^{\pi/2}\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r = \frac{\pi}{2}\cdot\frac{1}{4} = \frac{\pi}{8} \approx 0.393 < \frac{1}{2}

此敘述為真。✓

(D) 計算 ∬D1∪D2(x2+y2) dA\displaystyle\iint_{D_1 \cup D_2} (x^2+y^2)\,\mathrm{d}A。

利用幾何對稱性，將聯集區域 D1∪D2D_1 \cup D_2 拆分為兩個互不重疊的子區域：

  1. 單位圓盤 D2D_2 位於第二、三、四象限的部分（角度範圍為 [π/2,2π][\pi/2, 2\pi] 的 3/43/4 圓盤，設為 D2′D_2'）。
  2. 整個單位正方形 D1D_1（其與 D2′D_2' 僅在邊界相交，交集面積為零）。

因此，積分可直接相加：

∬D1∪D2f(x,y) dA= ∬D2′f(x,y) dA+∬D1f(x,y) dA= ∫π/22πdθ∫01r3 dr+23= 3π2⋅14+23=3π8+23\begin{align*} \iint_{D_1\cup D_2} f(x,y)\,\mathrm{d}A =&\, \iint_{D_2'} f(x,y)\,\mathrm{d}A + \iint_{D_1} f(x,y)\,\mathrm{d}A \\[4mm] =&\, \int_{\pi/2}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \int_0^1 r^3\,\mathrm{d}r + \frac{2}{3} \\[4mm] =&\, \frac{3\pi}{2}\cdot\frac{1}{4} + \frac{2}{3} = \frac{3\pi}{8} + \frac{2}{3} \end{align*}

代入數值估算：

3π8+23≈0.375×3.1416+0.6667≈1.178+0.6667=1.8447<2.5\frac{3\pi}{8} + \frac{2}{3} \approx 0.375\times 3.1416 + 0.6667 \approx 1.178 + 0.6667 = 1.8447 < 2.5

本選項宣稱積分值 >2.5> 2.5，與計算結果不符。此敘述為假。✗（即本題所求）

(E) 積分 ∬D1∪D21 dA\displaystyle\iint_{D_1\cup D_2} 1\,\mathrm{d}A 代表聯集區域的面積。

採用與 (D) 相同的無重疊分割法：

Area(D1∪D2)=Area(D2′)+Area(D1)=34π⋅12+1⋅1=1+3π4\text{Area}(D_1\cup D_2) = \text{Area}(D_2') + \text{Area}(D_1) = \frac{3}{4}\pi\cdot 1^2 + 1\cdot 1 = 1 + \frac{3\pi}{4}

此敘述為真。✓

結論： 選項 (D) 為錯誤敘述。聯集區域上的積分值約為 1.8451.845，小於 2.52.5。