題目

Problem

4. Let $f(x) = \displaystyle\int_0^x t\sin(t)\,\mathrm{d}t$ and $g(x) = \displaystyle\int_0^x t^2\cos(t)\,\mathrm{d}t$ for $x \in (-\infty, \infty)$ . Which of the following statements is false?

(A) $g(x) = x^2\sin(x) - 2f(x)$ for $x \in (-\infty, \infty)$ .

(B) There exists some constant $c$ such that $f(x) + x\cos(x) = c\sin(x)$ for $x \in (-\infty, \infty)$ .

(D) $f(\pi) = \pi$ .

(E) $g(\pi/2) = (\pi/2)^2 + 2$ .

解答

解法一

思路

展開

$f$ 和 $g$ 都是用積分定義的函數，最直接的做法是先用分部積分把它們的閉合式求出來，再逐一代入各選項驗算。
注意 $f$ 與 $g$ 之間有微妙的關聯： $g'(x) = x^2\cos x$ ，而 $f(x)$ 含有 $t\sin t$ 。不難發現對 $x^2\sin x$ 求導時會出現 $2x\sin x = 2 \cdot (t\sin t)\big|_{t=x}$ ，這暗示 $g$ 與 $f$ 之間有一個簡潔的關係式——正是選項 (A) 的內容。
特別注意選項 (E)： $g(\pi/2)$ 中含有 $(\pi/2)^2$ ，很容易誤以為是「顯然」的，但實際計算後這個 $(\pi/2)^2$ 的係數以及附加的常數都需要仔細驗算。

答題過程

展開

第一步：求 $f(x)$ 的閉合式。

對 $\int_0^x t\sin t\,\mathrm{d}t$ 做分部積分，令 $u = t$ ， $\mathrm{d}v = \sin t\,\mathrm{d}t$ ：

\begin{align*} f(x) =&\, \bigl[-t\cos t\bigr]_0^x + \int_0^x\cos t\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\, -x\cos x + \bigl[\sin t\bigr]_0^x \\[4mm] =&\, -x\cos x + \sin x \end{align*}

第二步：求 $g(x)$ 的閉合式。

對 $\int_0^x t^2\cos t\,\mathrm{d}t$ 做分部積分，令 $u = t^2$ ， $\mathrm{d}v = \cos t\,\mathrm{d}t$ ：

\begin{align*} g(x) =&\, \bigl[t^2\sin t\bigr]_0^x - \int_0^x 2t\sin t\,\mathrm{d}t \\[4mm] =&\, x^2\sin x - 2f(x) \end{align*}

這直接給出了選項 (A) 的關係。

有了 $f$ 和 $g$ 的閉合式，逐一驗算各選項：

(A) $g(x) = x^2\sin x - 2f(x)$ ，由上推導直接得到。✓

(B) 代入 $f(x)$ 的閉合式：

f(x) + x\cos x = (-x\cos x + \sin x) + x\cos x = \sin x

故 $c = 1$ ，等式成立。✓

(C) 計算 $f(-x)$ ：

f(-x) = -(-x)\cos(-x) + \sin(-x) = x\cos x - \sin x = -f(x)

故 $f$ 為奇函數。✓

(D) $f(\pi) = -\pi\cos\pi + \sin\pi = -\pi\cdot(-1) + 0 = \pi$ 。✓

(E) 利用 (A) 的結果：

\begin{align*} g\!\left(\frac{\pi}{2}\right) =&\, \left(\frac{\pi}{2}\right)^2\sin\frac{\pi}{2} - 2f\!\left(\frac{\pi}{2}\right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi^2}{4}\cdot 1 - 2\!\left(-\frac{\pi}{2}\cos\frac{\pi}{2} + \sin\frac{\pi}{2}\right) \\[4mm] =&\, \frac{\pi^2}{4} - 2(0 + 1) \\[4mm] =&\, \frac{\pi^2}{4} - 2 \end{align*}

但選項宣稱是 $\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2 + 2 = \dfrac{\pi^2}{4} + 2$ ，兩者相差 $4$ ，不相符。✗

結論： 選項 (E) 為錯誤敘述。正確值為 $g(\pi/2) = \dfrac{\pi^2}{4} - 2$ ，而非 $\dfrac{\pi^2}{4} + 2$ 。

111 政治大學微積分 第 4 題

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