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111 政治大學微積分 第 3 題

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111學年度 · 111微積分 · 第 3 題

題目

Problem

3. Suppose that ff and gg are two functions such that g′(x)=f′(x)=xexg'(x) = f'(x) = xe^x for x∈(−∞,∞)x \in (-\infty, \infty) and f(0)=−1f(0) = -1. Which of the following statements is false?

(A) f(x)=−1+∫0xtet dtf(x) = -1 + \displaystyle\int_0^x te^t\,\mathrm{d}t for x∈(−∞,∞)x \in (-\infty, \infty).

(B) If g(3)=e3g(3) = e^3, then g(x)=f(x)g(x) = f(x) for x∈(−∞,∞)x \in (-\infty, \infty).

(C) If g(2)=e2g(2) = e^2, then g(x)=f(x)g(x) = f(x) for x∈(−∞,∞)x \in (-\infty, \infty).

(D) If g(1)=0g(1) = 0, then g(x)=f(x)g(x) = f(x) for x∈(−∞,∞)x \in (-\infty, \infty).

(E) f(100)>e100f(100) > e^{100}.

解答

解法一

思路

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  1. 已知 f′(x)=xexf'(x) = xe^x 且 f(0)=−1f(0) = -1，因此可以把 ff 完全確定下來——先對 f′f' 做分部積分，再代初始條件求出積分常數。
  2. 求出 ff 的閉合式之後，選項 (A)(E) 可以直接驗算；選項 (B)(C)(D) 的核心在於：g′=f′g' = f' 意味著 g−fg - f 是常數，判斷哪個初始條件能讓這個常數恰好為 00。
  3. 特別注意 (B)：g(3)=e3g(3) = e^3 聽起來「很合理」，但要和 f(3)f(3) 比較才知道是否相等。這是本題最容易誤判的陷阱。

答題過程

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第一步：求 f(x)f(x) 的閉合式。

對 f′(x)=xexf'(x) = xe^x 做分部積分，令 u=xu = x，dv=ex dx\mathrm{d}v = e^x\,\mathrm{d}x：

f(x)= ∫xex dx= xex−∫ex dx= xex−ex+C=ex(x−1)+C\begin{align*} f(x) =&\, \int xe^x\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, xe^x - \int e^x\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, xe^x - e^x + C = e^x(x-1) + C \end{align*}

代入初始條件 f(0)=−1f(0) = -1：e0(0−1)+C=−1⇒C=0e^0(0-1) + C = -1 \Rightarrow C = 0，故

f(x)=ex(x−1)f(x) = e^x(x-1)

有了 ff 的閉合式，逐一驗算各選項：

(A) 由微積分基本定理，−1+∫0xtet dt-1 + \displaystyle\int_0^x te^t\,\mathrm{d}t 的導數為 xex=f′(x)xe^x = f'(x)，且在 x=0x=0 時值為 −1=f(0)-1 = f(0)。因此這個表達式與 f(x)f(x) 相同。✓

(B) 計算 f(3)=e3(3−1)=2e3f(3) = e^3(3-1) = 2e^3。若 g(3)=e3g(3) = e^3，則 g(3)≠f(3)=2e3g(3) \ne f(3) = 2e^3。由於 g′=f′g' = f'，g−fg - f 是常數，而 g(3)−f(3)=e3−2e3=−e3≠0g(3) - f(3) = e^3 - 2e^3 = -e^3 \ne 0，故 g≠fg \ne f。此敘述為假。✗

(C) 計算 f(2)=e2(2−1)=e2f(2) = e^2(2-1) = e^2。若 g(2)=e2=f(2)g(2) = e^2 = f(2)，則 g(2)−f(2)=0g(2) - f(2) = 0，且由於 g−fg-f 是常數，可得 g≡fg \equiv f。✓

(D) 計算 f(1)=e1(1−1)=0f(1) = e^1(1-1) = 0。若 g(1)=0=f(1)g(1) = 0 = f(1)，同理 g≡fg \equiv f。✓

(E) f(100)=e100(100−1)=99e100>e100f(100) = e^{100}(100-1) = 99e^{100} > e^{100}。✓

結論： 選項 (B) 為錯誤敘述。g(3)=e3g(3) = e^3 而 f(3)=2e3f(3) = 2e^3，兩者相差整整一倍，若 g(3)=e3g(3) = e^3 則 g≠fg \ne f。