1. $f(x) = e^{-(x+1)^2/4}$ 是一個鐘形曲線（Gaussian 型），和標準常態分佈的密度函數同一類型，只是中心和縮放比例不同。觀察指數部分：$-\dfrac{(x+1)^2}{4}$，當 $x = -1$ 時指數等於 $0$，函數值達到最大值 $1$；$x$ 愈偏離 $-1$，函數值愈趨近 $0$。
2. 分析步驟依序是：漸近線、一階導數（極值）、二階導數（反曲點），最後畫出圖形。
3. 漸近線：$f(x) \to 0$ 當 $x \to \pm\infty$，故 $y = 0$ 是水平漸近線。由於 $e$ 的指數函數在整個實數線上連續，不存在垂直漸近線。
4. 二階導數的零點給出反曲點，預期兩個，且位於中心 $x = -1$ 的左右對稱位置。

基本性質。

• 定義域：$\mathbb{R}$；值域：$(0, 1]$（指數恆為非正數，故 $0 < f(x) \le 1$）。
• $f(-1) = e^0 = 1$ 是函數最大值；$f(x) \to 0$ 當 $x \to \pm\infty$，沒有最小值（無法達到 $0$）。
• 水平漸近線：$y = 0$（$x \to \pm\infty$）；無垂直漸近線。

一階導數（求極值）。 用鏈鎖律：

因為 $f(x) > 0$，所以 $f'(x)$ 的符號完全由 $-(x+1)$ 決定：

• $x < -1$：$f'(x) > 0$，函數遞增。
• $x > -1$：$f'(x) < 0$，函數遞減。
• $x = -1$：$f'(-1) = 0$，極大值（也是全域最大值）$f(-1) = 1$。

函數在整個定義域上無極小值。

二階導數（求反曲點）。 對 $f'(x) = -\dfrac{x+1}{2}f(x)$ 再次求導：

$f''(x) = 0$ 的條件是 $(x+1)^2 = 2$，即：

兩個反曲點的函數值相同：$f(-1\pm\sqrt{2}) = e^{-(\pm\sqrt{2})^2/4} = e^{-1/2}$。

增減凹凸總覽表。

結論。

• 最大值：$f(-1) = 1$；無最小值。
• 反曲點：$\left(-1-\sqrt{2},\, e^{-1/2}\right)$ 和 $\left(-1+\sqrt{2},\, e^{-1/2}\right)$。
• 水平漸近線：$y = 0$；無垂直漸近線。
• 圖形為對稱於 $x = -1$ 的鐘形曲線，頂點 $(-1, 1)$，以 $y = 0$ 為漸近線，在反曲點左右分別為凹向上與凹向下。