1. 設 $(x, y, z)$ 是曲面 $z^2 = xy + 1$ 上的點，到原點的距離平方為 $d^2 = x^2 + y^2 + z^2$。最小化距離等價於最小化 $d^2$（因為 $d^2$ 最小時 $d$ 也最小）。
2. 利用約束 $z^2 = xy + 1$ 把 $z^2$ 代掉，得到 $d^2 = x^2 + y^2 + xy + 1$。這樣問題就從三元約束最佳化化為二元無約束最佳化，計算簡單得多。
3. 對 $h(x,y) = x^2 + y^2 + xy + 1$ 做配方，判斷其最小值在哪裡。注意 $h$ 是 $x, y$ 的二次型加常數 $1$，分析其半正定性即可。

建立目標函數。 設曲面上的點為 $(x, y, z)$，約束為 $z^2 = xy + 1$，則到原點的距離平方為：

對 $h(x,y) = x^2 + xy + y^2 + 1$ 配方。

由於 $\left(x + \dfrac{y}{2}\right)^2 \ge 0$ 且 $\dfrac{3}{4}y^2 \ge 0$，可知 $h(x,y) \ge 1$，等號成立的條件是：

找出對應的曲面點。 代入 $(x, y) = (0, 0)$ 到約束方程：

因此，曲面上到原點距離最短的點為 $(0, 0, 1)$ 和 $(0, 0, -1)$，對應的距離平方為 $1$。

結論。 從原點到曲面 $z^2 = xy + 1$ 的最小距離為

最近的點為 $(0, 0, 1)$ 和 $(0, 0, -1)$。