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111 政治大學微積分 第 12 題

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111學年度 · 111微積分 · 第 12 題

題目

Problem

12. (10%) Show your work to get the points.（請提供計算過程說明）

Let f(x)=2−x+4−x−1f(x) = 2^{-x} + 4^{-x} - 1, g(x)=(f(x))−1/xg(x) = (f(x))^{-1/x} for x≥−1x \ge -1, x≠0x \ne 0. Find g′(x)g'(x).

解答

解法一

思路

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  1. g(x)=(f(x))−1/xg(x) = (f(x))^{-1/x} 是一個形如 [u(x)]v(x)[u(x)]^{v(x)} 的函數（底數和指數都含 xx），不能直接用冪次法則或指數法則，需要先取對數再微分，也就是對數微分法。
  2. 取對數後，ln⁡g=−ln⁡f(x)x\ln g = -\dfrac{\ln f(x)}{x}，這是兩個關於 xx 的函數相除，對 xx 求導時需要用商的微分法（或乘積法則）。
  3. 最後把 f′(x)f'(x) 代入整理——f(x)=2−x+4−x−1f(x) = 2^{-x} + 4^{-x} - 1，其導數涉及 axa^x 型函數的微分，別忘了乘上 ln⁡a\ln a。

答題過程

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第一步：對 g(x)g(x) 取對數。

ln⁡g(x)=−1xln⁡f(x)\ln g(x) = -\frac{1}{x}\ln f(x)

第二步：兩邊對 xx 求導。

左邊用鏈鎖律得 g′(x)g(x)\dfrac{g'(x)}{g(x)}；右邊對 −ln⁡f(x)x-\dfrac{\ln f(x)}{x} 用商的微分法：

g′(x)g(x)=−f′(x)f(x)⋅x−(−1)⋅ln⁡f(x)x2=ln⁡f(x)x2−f′(x)x f(x)\frac{g'(x)}{g(x)} = \frac{-\frac{f'(x)}{f(x)}\cdot x - (-1)\cdot\ln f(x)}{x^2} = \frac{\ln f(x)}{x^2} - \frac{f'(x)}{x\,f(x)}

第三步：求 f′(x)f'(x)。

f(x)=2−x+4−x−1f(x) = 2^{-x} + 4^{-x} - 1，逐項對 xx 求導，利用 (a−x)′=−a−xln⁡a(a^{-x})' = -a^{-x}\ln a：

f′(x)=−2−xln⁡2−4−xln⁡4f'(x) = -2^{-x}\ln 2 - 4^{-x}\ln 4

第四步：整理 g′(x)g'(x)。

把 g′(x)g(x)=⋯\dfrac{g'(x)}{g(x)} = \cdots 兩邊乘以 g(x)=(f(x))−1/xg(x) = (f(x))^{-1/x}：

g′(x)=(f(x))−1/x[ln⁡f(x)x2−f′(x)x f(x)]g'(x) = (f(x))^{-1/x}\left[\frac{\ln f(x)}{x^2} - \frac{f'(x)}{x\,f(x)}\right]

代入 f(x)f(x) 和 f′(x)f'(x) 的表達式，得到最終結果：

g′(x)=(2−x+4−x−1)−1/x[ln⁡(2−x+4−x−1)x2+2−xln⁡2+4−xln⁡4x(2−x+4−x−1)]\boxed{g'(x) = (2^{-x}+4^{-x}-1)^{-1/x}\left[\frac{\ln(2^{-x}+4^{-x}-1)}{x^2} + \frac{2^{-x}\ln 2 + 4^{-x}\ln 4}{x(2^{-x}+4^{-x}-1)}\right]}