$f\!\left(\dfrac{x^2-1}{x^2+1}\right) = x$ 是隱函數形式。對兩邊關於 $x$ 求導，再找 $t = 0$ 對應的 $x$ 值，代入即可得 $f'(0)$。

令 $t = \dfrac{x^2-1}{x^2+1}$，則 $f(t) = x$，兩邊對 $x$ 求導：

計算 $\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}$（商的微分法）：

$t = 0$ 時，$\dfrac{x^2-1}{x^2+1} = 0 \Rightarrow x = 1$（取 $x > 0$），代入：

$f(x) = (\ln x)^{1/x}$ 是底數和指數都含 $x$ 的函數，必須先取對數再微分（對數微分法）。取對數後 $\ln f = \dfrac{\ln(\ln x)}{x}$，用商的微分法處理右邊，再乘回 $f(x)$ 即可。

取對數：$\ln f(x) = \dfrac{\ln(\ln x)}{x}$，兩邊對 $x$ 求導：

乘回 $f(x) = (\ln x)^{1/x}$，代入 $x = e$（此時 $\ln e = 1$，$\ln(\ln e) = \ln 1 = 0$）：

$(\ln x)^{1/x}$ 的指數 $1/x \to 0$，但底數 $\ln x \to \infty$，屬於 $\infty^0$ 的不定型。取指數形式，將問題化為求 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln(\ln x)}{x}$，用 L’Hôpital 法則可以確認這個極限為 $0$。

用 L’Hôpital 法則：

故 $\lim_{x\to\infty}f(x) = e^0 = \boxed{1}$。

$f(x) = \dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$ 是標準的商，直接用商的微分法。分子對 $x$ 的導數是 $\sin x$，分母的導數是 $-\sin x$，注意符號。

用商的微分法：