1. 這一題考察五個積分的收斂性，每個積分都有不同的瑕點或不同的收斂原因。
2. 快速篩查的策略是先挑「最有可能發散」的選項優先計算：(C) 的被積函數 $\dfrac{1}{x\ln x}$ 類似 $\dfrac{1}{x}$（比 $p$-判準的臨界情況還要「慢」），是典型的發散類型；(A)(D) 從直覺上看像是收斂的；(B) 的 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x \to 0^+$ 時趨近 $1$，沒有真正的奇點；(E) 可以分部積分直接算。
3. 特別注意 (C)：$\int \dfrac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x$ 的原函數是 $\ln|\ln x|$，當 $x \to \infty$ 時 $\ln|\ln x| \to \infty$，所以積分發散。

逐一判斷收斂性：

(A) $\displaystyle\int_0^2 x^{-0.5}\,\mathrm{d}x$ 的瑕點在 $x = 0$（$x^{-0.5} \to \infty$）。直接計算：

收斂。✓

(B) $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x \to 0^+$ 時趨近 $1$（極限 $\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x} = 1$），因此 $x = 0$ 並非真正的奇點，積分正常收斂。✓

(C) $\displaystyle\int_2^\infty \dfrac{1}{x\ln x}\,\mathrm{d}x$。令 $u = \ln x$，$\mathrm{d}u = \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x$，當 $x = 2$ 時 $u = \ln 2$，當 $x \to \infty$ 時 $u \to \infty$：

積分發散，等於 $\infty$。✗（即本題所求）

（為完整起見，繼續驗算其餘選項）

(D) $\displaystyle\int_0^\infty 2^{-x}\,\mathrm{d}x = \int_0^\infty e^{-x\ln 2}\,\mathrm{d}x = \left[-\dfrac{1}{\ln 2}e^{-x\ln 2}\right]_0^\infty = \dfrac{1}{\ln 2} < \infty$。✓

(E) 對 $\displaystyle\int_1^\infty\dfrac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x$ 做分部積分，令 $u = \ln x$，$\mathrm{d}v = x^{-2}\,\mathrm{d}x$：

（注意 $\lim_{x\to\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0$，用洛必達即可確認。）✓

結論： 選項 (C) 的積分等於 $\infty$。被積函數 $\dfrac{1}{x\ln x}$ 的原函數是 $\ln(\ln x)$，在積分上限趨向無窮大時此函數也趨向無窮大，故積分發散。