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111 政治大學微積分 第 1 題

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111學年度 · 111微積分 · 第 1 題

題目

Problem

第一部份：選擇題（單選題，每題 5 分，共 50 分）

  1. Suppose that
f(x)={0if x≤−1;x2−1if −1<x≤1;ln⁡(x)if 1<x≤e;g(x)if x>e,f(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x \le -1; \\ x^2 - 1 & \text{if } -1 < x \le 1; \\ \ln(x) & \text{if } 1 < x \le e; \\ g(x) & \text{if } x > e, \end{cases}

where gg is a continuous function on (e,∞)(e, \infty) and lim⁡x→e+g(x)=1\displaystyle\lim_{x \to e^+} g(x) = 1. Suppose that ∫e∞g(x) dx=1\displaystyle\int_e^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = 1. Which of the following statements is false?

(A) ∫−11f(x) dx>−2\displaystyle\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x > -2

(B) ∫1ef(x) dx=1\displaystyle\int_1^e f(x)\,\mathrm{d}x = 1

(C) ∫1∞f(x) dx<3\displaystyle\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x < 3

(D) ∫0∞f(x) dx=5/3\displaystyle\int_0^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = 5/3

(E) ∫−∞∞f(x) dx=2/3\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\mathrm{d}x = 2/3

解答

解法一

思路

展開
  1. 這是一題「找出錯誤敘述」的選擇題。f(x)f(x) 是分段函數，但各段都是熟悉的基本函數，計算並不困難。
  2. 策略上，先找出幾個「建築石塊」：算出 ∫−11f\int_{-1}^1 f、∫1ef\int_1^e f、∫e∞g\int_e^\infty g 各是多少，其餘選項幾乎都是這三塊的組合。
  3. 注意 gg 的值域我們並不完全清楚，但題目給了兩條資訊：連續性（可以保證積分行為正常）以及 ∫e∞g(x) dx=1\int_e^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = 1。這兩條就是解題所需的全部資訊。
  4. 選項 (D) 涉及從 00 到 ∞\infty 的積分，要小心起點從 00 而不是 −1-1。從 00 到 11 積分的是 x2−1x^2 - 1，而不是對稱到 −1-1 的整段。

答題過程

展開

我們先計算三個基本積分作為後續的基礎。

基礎積分一：∫−11f(x) dx\int_{-1}^1 f(x)\,\mathrm{d}x

在 [−1,1][-1, 1] 上，f(x)=x2−1f(x) = x^2 - 1（注意 x=−1x = -1 時 f(−1)=0f(-1) = 0，不影響積分值）。利用奇偶性，x2−1x^2 - 1 是偶函數：

∫−11(x2−1) dx= 2∫01(x2−1) dx= 2[x33−x]01= 2(13−1)=−43\begin{align*} \int_{-1}^1(x^2 - 1)\,\mathrm{d}x =&\, 2\int_0^1(x^2 - 1)\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, 2\left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^1 \\[4mm] =&\, 2\left(\frac{1}{3} - 1\right) = -\frac{4}{3} \end{align*}

基礎積分二：∫1ef(x) dx\int_1^e f(x)\,\mathrm{d}x

在 (1,e](1, e] 上，f(x)=ln⁡xf(x) = \ln x，用分部積分 ∫ln⁡x dx=xln⁡x−x+C\int\ln x\,\mathrm{d}x = x\ln x - x + C：

∫1eln⁡x dx= [xln⁡x−x]1e= (eln⁡e−e)−(1⋅0−1)= (e−e)+1=1\begin{align*} \int_1^e\ln x\,\mathrm{d}x =&\, \bigl[x\ln x - x\bigr]_1^e \\[4mm] =&\, (e\ln e - e) - (1\cdot 0 - 1) \\[4mm] =&\, (e - e) + 1 = 1 \end{align*}

基礎積分三：∫e∞g(x) dx=1\int_e^\infty g(x)\,\mathrm{d}x = 1（題目已知）

有了這三塊，逐一驗算各選項：

(A) ∫−11f dx=−43>−2\displaystyle\int_{-1}^1 f\,\mathrm{d}x = -\dfrac{4}{3} > -2　✓

(B) ∫1ef dx=1\displaystyle\int_1^e f\,\mathrm{d}x = 1　✓

(C) ∫1∞f dx=∫1ef+∫e∞g=1+1=2<3\displaystyle\int_1^\infty f\,\mathrm{d}x = \int_1^e f + \int_e^\infty g = 1 + 1 = 2 < 3　✓

(D) 注意積分下限是 00，不是 −1-1：

∫0∞f dx= ∫01(x2−1) dx+∫1∞f dx= [x33−x]01+2= (13−1)+2=−23+2=43\begin{align*} \int_0^\infty f\,\mathrm{d}x =&\, \int_0^1(x^2-1)\,\mathrm{d}x + \int_1^\infty f\,\mathrm{d}x \\[4mm] =&\, \left[\frac{x^3}{3} - x\right]_0^1 + 2 \\[4mm] =&\, \left(\frac{1}{3} - 1\right) + 2 = -\frac{2}{3} + 2 = \frac{4}{3} \end{align*}

但選項宣稱是 53\dfrac{5}{3}，兩者不符。✗

(E) ∫−∞−1f dx=0\displaystyle\int_{-\infty}^{-1} f\,\mathrm{d}x = 0（該段 f≡0f \equiv 0），故：

∫−∞∞f dx=0+(−43)+2=23　✓\int_{-\infty}^\infty f\,\mathrm{d}x = 0 + \left(-\frac{4}{3}\right) + 2 = \frac{2}{3}　✓

結論： 選項 (D) 為錯誤敘述。正確積分值為 43\dfrac{4}{3}，而非 53\dfrac{5}{3}。