題目
Problem
3. Let f(x)=x2+4 and g(x)=−x3+x2+3x+6. Then f(−1)=g(−1) and f(2)=g(2). Show that there is at least one value c in the interval (−1,2) where the tangent line to f(x) at (c,f(c)) is parallel to the tangent line to g(x) at (c,g(c)).
解答
解法一
思路
展開
- 兩切線平行的意思是：在同一個 x=c 處，f 和 g 的斜率相等，亦即 f′(c)=g′(c)。這等價於 (f−g)′(c)=0。
- 題目已幫我們驗證了 f(−1)=g(−1) 與 f(2)=g(2)，這是一個強烈的提示——令輔助函數 F=f−g，則 F 在區間兩端均為零，恰好滿足 Rolle 定理的端點條件。
- 只要確認 F 在 [−1,2] 上連續、在 (−1,2) 上可微（f、g 均為多項式，故自動滿足），就能保證存在 c∈(−1,2) 使得 F′(c)=0，即 f′(c)=g′(c)，亦即兩切線互相平行。
答題過程
展開
建立輔助函數。 令
F(x)=f(x)−g(x)=(x2+4)−(−x3+x2+3x+6)=x3−3x−2
驗證 Rolle 定理的三個條件。
- 連續性：F(x)=x3−3x−2 是多項式，在 [−1,2] 上連續。
- 可微性：多項式在 (−1,2) 上處處可微。
- 端點條件：由題意 f(−1)=g(−1) 與 f(2)=g(2)，可直接得到：
F(−1)=f(−1)−g(−1)=0,F(2)=f(2)−g(2)=0
三個條件均滿足。
應用 Rolle 定理。 存在至少一個 c∈(−1,2)，使得
F′(c)=0
亦即
f′(c)−g′(c)=0⟹f′(c)=g′(c)
結論。 f′(c) 是 f 在點 (c,f(c)) 的切線斜率，g′(c) 是 g 在點 (c,g(c)) 的切線斜率。二者相等，故兩切線互相平行。■
