1. $f(x) = 2\ln x - x^2$ 的定義域是 $x > 0$（對數必須有正數引數）。
2. 求一階導數 $f'(x)$，令 $f'(x) = 0$ 找臨界點，再檢查 $f'$ 在定義域內是否有不存在的地方（$x = 0$ 不在定義域內，不計）。
3. 用 $f'$ 的符號判斷遞增遞減區間，再用一階導數測試確定極值的類型。

求一階導數。

（a）臨界點。

$f'(x) = 0$ 的條件是 $x = 1$ 或 $x = -1$，但 $x = -1$ 不在定義域 $x > 0$ 內。故臨界點為 $x = 1$。

（$f'$ 在定義域內處處存在，沒有「導數不存在的點」。）

（b）遞增遞減區間。

在 $x > 0$ 內，分母 $x > 0$，所以 $f'(x)$ 的符號由分子 $-2(x-1)(x+1)$ 決定：

• $0 < x < 1$：$(x-1) < 0$，$(x+1) > 0$，分子 $= -2(-)( +) > 0$，$f'(x) > 0$，函數遞增。
• $x > 1$：$(x-1) > 0$，$(x+1) > 0$，分子 $< 0$，$f'(x) < 0$，函數遞減。

遞增區間：$(0, 1)$；遞減區間：$(1, +\infty)$。

（c）極值判斷（一階導數測試）。

在 $x = 1$ 處，$f'$ 由正（$x < 1$）變負（$x > 1$），故 $x = 1$ 是相對極大值點。

相對極大值為 $f(1) = -1$，無相對極小值。