1. 「$f$ 在 $x = c$ 可微分」的意思是 $\displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ 存在且等於 $f'(c)$。
2. 「$f$ 在 $x = c$ 連續」的意思是 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$。
3. 關鍵技巧：把 $f(x)$ 改寫成 $f(x) = \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}\cdot(x-c) + f(c)$，然後對兩邊取 $x \to c$ 的極限。左邊出現「導數 $\times$ 零」的形式，自然得到 $f(c)$。

前提： 已知 $f$ 在 $x = c$ 處可微分，即 $f'(c) = \displaystyle\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ 存在。

目標： 證明 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$。

證明： 對任意 $x \ne c$，將 $f(x)$ 恆等地改寫如下：

對此等式兩邊取 $x \to c$ 的極限，並利用極限的乘積法則：

由於 $\displaystyle\lim_{x\to c}f(x) = f(c)$，$f$ 在 $x = c$ 處連續。$\blacksquare$