1. $f(x)$ 是兩個以積分定義的函數加上 $3x$。對積分部分用微積分基本定理逐項求導。
2. 注意第一個積分的上限是 $1/x$（而不是 $x$），求導時要用鏈鎖律，在 $\dfrac{1}{1+(1/x)^2}$ 之後乘以 $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1/x) = -1/x^2$。
3. 算完後會發現兩個積分的導數恰好互相抵消，最終結果只剩 $3$。

對 $f(x)$ 逐項對 $x$ 求導：

第一項： 上限為 $1/x$，用微積分基本定理與鏈鎖律：

第二項： 上限為 $x$，直接用微積分基本定理：

第三項： $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x) = 3$。

合計：

回憶不定積分公式 $\displaystyle\int \frac{\mathrm{d}t}{1+t^2} = \arctan t + C$，可以直接求出這兩個積分的解析表達式：

利用著名的反三角函數恆等式：當 $x > 0$ 時，$\arctan x + \arctan\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{\pi}{2}$，我們可以把 $f(x)$ 簡化為線性函數，再直接求導。

第一步：求出積分的解析式。

根據定積分計算：

代回原函數：

第二步：利用恆等式化簡。

當 $x > 0$ 時，我們有恆等式：

（註：當 $x < 0$ 時，該值為 $-\frac{\pi}{2}$，皆為常數。）

因此，對於任意 $x \ne 0$，$f(x)$ 可以表示為：

第三步：對 $x$ 求導。

由於常數項的導數為 $0$，故：