題目

Problem

5. $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\sin^3 x\cdot e^{-x^2} + \cos^2 x)\,\mathrm{d}x = \underline{\hspace{3cm}}$ .

解答

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積分區間 $[-\pi/2, \pi/2]$ 是關於原點對稱的。此時，奇函數的積分為零，偶函數的積分可以簡化為半區間的兩倍。所以先判斷兩個被積函數各自的奇偶性。
$\sin^3 x\cdot e^{-x^2}$ ： $\sin^3(-x) = -\sin^3 x$ ， $e^{-(-x)^2} = e^{-x^2}$ （偶），兩者相乘是奇函數，積分為 $0$ 。
$\cos^2 x$ ： $\cos^2(-x) = \cos^2 x$ ，是偶函數，積分可化為 $2\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$ ，用 Wallis 公式算。

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把被積函數拆成兩部分，分別處理：

第一部分： $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^3 x\cdot e^{-x^2}\,\mathrm{d}x$ 。

令 $h(x) = \sin^3 x\cdot e^{-x^2}$ ，計算 $h(-x) = \sin^3(-x)\cdot e^{-(-x)^2} = -\sin^3 x\cdot e^{-x^2} = -h(x)$ ， $h$ 是奇函數。在對稱區間上，奇函數積分為 $0$ ：

\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^3 x\cdot e^{-x^2}\,\mathrm{d}x = 0

第二部分： $\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^2 x\,\mathrm{d}x$ 。

$\cos^2 x$ 是偶函數，積分化為：

2\int_0^{\pi/2}\cos^2 x\,\mathrm{d}x

利用半角公式 $\cos^2 x = \dfrac{1+\cos 2x}{2}$ ：

2\int_0^{\pi/2}\frac{1+\cos 2x}{2}\,\mathrm{d}x = \int_0^{\pi/2}(1+\cos 2x)\,\mathrm{d}x = \left[x + \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi/2} = \frac{\pi}{2}

結論：

\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(\sin^3 x\cdot e^{-x^2} + \cos^2 x\big)\,\mathrm{d}x = 0 + \frac{\pi}{2} = \boxed{\dfrac{\pi}{2}}