微積分福音

111 政治大學微積分（財政）第 3 題

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111學年度 · 111微積分（財政） · 第 3 題

題目

Problem

3. Let $w = x^2y - y^2$ , where $x = \sin u$ and $y = e^u$ . Find $\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}u}$ when $u = 0$ . $\underline{\hspace{3cm}}$

解答

解法一

思路

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$w$ 是 $x$ 和 $y$ 的函數，而 $x$ 和 $y$ 又都是 $u$ 的函數，所以 $w$ 可以看成 $u$ 的複合函數，用多元鏈鎖律求 $\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}u}$ 。
鏈鎖律公式： $\dfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}u} = \dfrac{\partial w}{\partial x}\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} + \dfrac{\partial w}{\partial y}\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}$ ，然後代入 $u = 0$ 時的 $x = \sin 0 = 0$ ， $y = e^0 = 1$ 。

答題過程

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計算各偏導數與導數。

\frac{\partial w}{\partial x} = 2xy, \qquad \frac{\partial w}{\partial y} = x^2 - 2y

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}u} = \cos u, \qquad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u} = e^u

代入鏈鎖律。

\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}u} = 2xy\cos u + (x^2 - 2y)e^u

代入 $u = 0$ 。 此時 $x = \sin 0 = 0$ ， $y = e^0 = 1$ ：

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}u}\bigg|_{u=0} =&\, 2(0)(1)\cos 0 + (0^2 - 2\cdot 1)e^0 \\[4mm] =&\, 0 + (-2)(1) = \boxed{-2} \end{align*}