1. 討論連續性：要判斷 $f(x,y)$ 在哪些點連續。
   • 首先看特殊點 $(0,0)$：因為分母含 $x^2 + y^2$，代入 $(0,0)$ 時分母為零，函數在該點無定義。無定義點自然不連續。
   • 再看其他點 $(a,b) \ne (0,0)$：因為 $f(x,y)$ 是由初等函數經由四則運算與複合而成，在其定義域內（即除原點外的所有平面區域）皆為連續函數。
2. 求極限：要計算當 $(x,y) \to (0,0)$ 時的極限。
   • 由於自變數以圓對稱形式 $x^2 + y^2$ 出現，最自然的做法是令 $r^2 = x^2 + y^2$。當 $(x,y) \to (0,0)$ 時，有 $r^2 \to 0^+$。
   • 原極限簡化為單變數極限：$\displaystyle\lim_{r^2\to 0^+} \left(1 - \frac{\cos r^2}{r^2}\right)$。分析此時分子分母的趨近行為即可。

第一部分：討論函數的連續性。

1. 在點 $(0,0)$ 處： 當 $(x, y) = (0, 0)$ 時，分母 $x^2 + y^2 = 0$，函數無定義。因為在該點無定義，函數 $f(x,y)$ 在 $(0, 0)$ 處不連續。

2. 在點 $(a,b) \ne (0,0)$ 處： 對於平面上除原點外的任意點 $(a, b)$，分母 $x^2 + y^2 \ne 0$，因此 $f(x,y)$ 為初等函數的複合與商的運算結果。根據初等函數在其定義域內皆連續的性質，可知：

   $$\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$$

   因此，函數在整個去心平面 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ 上處處連續。

第二部分：求當 $(x,y) \to (0,0)$ 時的極限。

令 $t = x^2 + y^2$。當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時，有 $t \to 0^+$。

將極限式改寫為關於 $t$ 的單變數極限：

分析 $t \to 0^+$ 時的分子與分母：

• 分子：$\cos t \to \cos 0 = 1 > 0$；
• 分母：$t \to 0^+$。

因此，分式項的行為為：

代回原式極限：

結論：

• 函數 $f(x,y)$ 在 $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0, 0)\}$ 上連續，在 $(0,0)$ 處不連續。
• 當 $(x, y) \to (0, 0)$ 時，極限不存在（其值發散至 $-\infty$）。