微積分福音

111 政治大學微積分（財政）第 1 題

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111學年度 · 111微積分（財政） · 第 1 題

題目

Problem

一、填空題（每題 8%）

Let $y = (\ln x)^{(\ln x^3)}$ , $x > 1$ , please find $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \underline{\hspace{3cm}}$ .

解答

解法一

思路

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先注意 $\ln x^3 = 3\ln x$ ，故 $y = (\ln x)^{3\ln x}$ ——底數和指數都含 $x$ ，這是一個 $u(x)^{v(x)}$ 型函數，必須用對數微分法，不能直接用冪次法則。
取 $\ln y = 3\ln x\cdot\ln(\ln x)$ ，這是兩個函數的乘積，對 $x$ 求導時用乘積法則，再乘回 $y$ 即可。

答題過程

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整理指數： $y = (\ln x)^{\ln x^3} = (\ln x)^{3\ln x}$ 。

取對數： $\ln y = 3\ln x\cdot\ln(\ln x)$ 。

兩邊對 $x$ 求導，左邊用鏈鎖律，右邊用乘積法則：

\begin{align*} \frac{1}{y}\cdot\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\, \frac{3}{x}\cdot\ln(\ln x) + 3\ln x\cdot\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x} \\[4mm] =&\, \frac{3}{x}\ln(\ln x) + \frac{3}{x} \\[4mm] =&\, \frac{3}{x}\big[\ln(\ln x) + 1\big] \end{align*}

乘回 $y = (\ln x)^{3\ln x}$ ：

\boxed{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (\ln x)^{3\ln x}\cdot\frac{3}{x}\big[\ln(\ln x) + 1\big]}