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111 政治大學微積分（應數三年級）第 5 題

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111學年度 · 111微積分（應數三年級） · 第 5 題

題目

Problem

5. (10%) Let S={(x,y,z,w)∈R4:x2+y2+z2+w2≤1}S = \{(x,y,z,w) \in \mathbb{R}^4 : x^2 + y^2 + z^2 + w^2 \le 1\}. Find the volume of SS.

解答

解法一：逐維積分法

思路

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  1. 設 V4V_4 為四維單位球 B4B^4 的體積。可以把 ww 軸拿出來，對固定的 w∈[−1,1]w \in [-1,1]，SS 在 ww 為常數的截面是一個三維球，半徑為 r(w)=1−w2r(w) = \sqrt{1-w^2}。
  2. 三維球的體積公式是 4π3r3\dfrac{4\pi}{3}r^3，因此 V4=∫−114π3(1−w2)3/2 dwV_4 = \displaystyle\int_{-1}^1\frac{4\pi}{3}(1-w^2)^{3/2}\,\mathrm{d}w。
  3. 對這個積分令 w=sin⁡αw = \sin\alpha 換元，把 (1−w2)3/2=cos⁡3α(1-w^2)^{3/2} = \cos^3\alpha 化為標準的 Wallis 積分形式，利用 Wallis 公式即可得到結果。

答題過程

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建立截面積分。 對固定的 ww，截面 {(x,y,z):x2+y2+z2≤1−w2}\{(x,y,z): x^2+y^2+z^2 \le 1-w^2\} 是半徑 r(w)=1−w2r(w) = \sqrt{1-w^2} 的三維球，體積為 4π3r(w)3\dfrac{4\pi}{3}r(w)^3。故：

V4=∫−114π3(1−w2)3/2 dwV_4 = \int_{-1}^1\frac{4\pi}{3}(1-w^2)^{3/2}\,\mathrm{d}w

換元。 令 w=sin⁡αw = \sin\alpha，dw=cos⁡α dα\mathrm{d}w = \cos\alpha\,\mathrm{d}\alpha，α∈[−π/2,π/2]\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]，且 (1−w2)3/2=cos⁡3α(1-w^2)^{3/2} = \cos^3\alpha：

V4= 4π3∫−π/2π/2cos⁡3α⋅cos⁡α dα= 4π3∫−π/2π/2cos⁡4α dα\begin{align*} V_4 =&\, \frac{4\pi}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^3\alpha\cdot\cos\alpha\,\mathrm{d}\alpha \\[4mm] =&\, \frac{4\pi}{3}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\alpha\,\mathrm{d}\alpha \end{align*}

利用 Wallis 公式。 ∫0π/2cos⁡4α dα=34⋅12⋅π2=3π16\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^4\alpha\,\mathrm{d}\alpha = \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{16}（cos⁡2k\cos^{2k} 的 Wallis 公式，k=2k=2），故：

∫−π/2π/2cos⁡4α dα=2⋅3π16=3π8\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^4\alpha\,\mathrm{d}\alpha = 2\cdot\frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}

代入：

V4= 4π3⋅3π8= 4π⋅3π3⋅8=π22\begin{align*} V_4 =&\, \frac{4\pi}{3}\cdot\frac{3\pi}{8} \\[4mm] =&\, \frac{4\pi\cdot 3\pi}{3\cdot 8} = \frac{\pi^2}{2} \end{align*}

結論： 四維單位球的體積為

V4=π22\boxed{V_4 = \frac{\pi^2}{2}}

解法二：nn 維球體積公式與 Gamma 函數法

思路

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直接利用高等微積分中更具一般性的 nn 維超球體積公式：

Vn(R)=πn/2Γ(n2+1)RnV_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} R^n

將維度 n=4n = 4 和半徑 R=1R = 1 代入公式，利用 Gamma 函數與階乘的關係 Γ(k)=(k−1)!\Gamma(k) = (k-1)!（當 kk 為正整數時）快速計算出結果。

答題過程

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第一步：引入 nn 維球體積公式。

任意 nn 維空間中半徑為 RR 的超球體體積為：

Vn(R)=πn/2Γ(n2+1)RnV_n(R) = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\left(\frac{n}{2} + 1\right)} R^n

其中 Γ\Gamma 為 Gamma 函數。

第二步：代入數值計算。

本題中，維度 n=4n = 4，半徑 R=1R = 1，代入得：

V4=π4/2Γ(42+1)⋅14=π2Γ(3)V_4 = \frac{\pi^{4/2}}{\Gamma\left(\frac{4}{2} + 1\right)} \cdot 1^4 = \frac{\pi^2}{\Gamma(3)}

第三步：計算 Gamma 函數值。

由於 33 是正整數，我們有：

Γ(3)=(3−1)!=2!=2\Gamma(3) = (3-1)! = 2! = 2

因此，四維單位球的體積為：

V4=π22\boxed{V_4 = \frac{\pi^2}{2}}