題目

Problem

4. (10%) Let $R = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : z = x^2 + y^2,\, z \le 9\}$ . Find the area of $R$ .

解答

展開

$R$ 是拋物面 $z = x^2 + y^2$ 被平面 $z = 9$ 截斷的部分（只保留 $z \le 9$ 的部分），也就是以 $r^2 = x^2 + y^2 \le 9$ （即 $r \le 3$ ）為投影域的拋物面。
曲面面積公式：若曲面 $z = h(x,y)$ ，則其面積為 $\displaystyle\iint_D\sqrt{1 + h_x^2 + h_y^2}\,\mathrm{d}A$ ，其中 $D$ 是投影到 $xy$ -平面的區域。
這裡 $h_x = 2x$ ， $h_y = 2y$ ，故 $\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} = \sqrt{1 + 4r^2}$ （用極座標）。積分域 $D$ 是以原點為圓心、半徑為 $3$ 的圓盤，換成極座標計算非常方便。

展開

建立曲面面積積分。 $z = h(x,y) = x^2 + y^2$ ，偏導數 $h_x = 2x$ ， $h_y = 2y$ ：

\text{Area} = \iint_D\sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2}\,\mathrm{d}A = \iint_D\sqrt{1+4(x^2+y^2)}\,\mathrm{d}A

投影域 $D = \{(x,y): x^2+y^2 \le 9\}$ （圓盤，半徑 $3$ ）。

換極座標。 $x = r\cos\theta$ ， $y = r\sin\theta$ ， $\mathrm{d}A = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$ ， $r \in [0,3]$ ， $\theta \in [0,2\pi]$ ：

\begin{align*} \text{Area} =&\, \int_0^{2\pi}\!\int_0^3\sqrt{1+4r^2}\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta \\[4mm] =&\, 2\pi\int_0^3 r\sqrt{1+4r^2}\,\mathrm{d}r \end{align*}

計算徑向積分。 令 $t = 1+4r^2$ ， $\mathrm{d}t = 8r\,\mathrm{d}r$ ，即 $r\,\mathrm{d}r = \dfrac{\mathrm{d}t}{8}$ ； $r = 0$ 時 $t = 1$ ， $r = 3$ 時 $t = 37$ ：

\begin{align*} 2\pi\int_0^3 r\sqrt{1+4r^2}\,\mathrm{d}r =&\, 2\pi\int_1^{37}\sqrt{t}\cdot\frac{\mathrm{d}t}{8} \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{4}\left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_1^{37} \\[4mm] =&\, \frac{\pi}{6}\big(37^{3/2} - 1\big) \end{align*}

結論： 拋物面的面積為

\boxed{\text{Area} = \frac{\pi}{6}\!\left(37^{3/2} - 1\right)}