直接代入 $(0,0)$ 得 $0/0$ 的不定型，且沿不同路徑趨近時分母的衰減速率可能不同，不能隨便代路徑。關鍵觀察是令 $u = x^2$，分母 $3x^4 + y^2 = 3u^2 + y^2$ 成為齊次二次型，再引入橢圓極座標 $u = \dfrac{r}{\sqrt{3}}\cos\theta$、$y = r\sin\theta$，把分母統一成 $r^2$，讓整個表達式在 $r \to 0^+$ 時的行為一目了然。

令 $u = x^2$，引入橢圓極座標：令 $u = \dfrac{r}{\sqrt{3}}\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，則：

代入原式，注意 $x^2 = u = \dfrac{r}{\sqrt{3}}\cos\theta$：

當 $r \to 0^+$ 時，$\sin(r\sin\theta) \to 0$（因為 $|r\sin\theta| \le r \to 0$），故：

（極限值為 $0$，與 $\theta$ 無關，故極限確實存在且等於 $0$。）

當 $x \to 0$ 時，各三角函數都有熟悉的等價無窮小：$\sin x \sim x$，$\tan 3x \sim 3x$，$1 - \cos 5x \sim \dfrac{25x^2}{2}$。直接把這些代換代入，把整個式子化為純 $x$ 的冪次相除，就能快速得到極限值，不需要動用 L’Hôpital 法則。

利用 $x \to 0$ 時的等價無窮小：

代入原式：